Определенный интеграл. К понятию определенного интеграла подойдем из рассмотрения геометрической задачи

К понятию определенного интеграла подойдем из рассмотрения геометрической задачи.

Допустим, что некоторая функция задана в виде графика (см. рис.1). Поставим задачу: вычислить площадь криволинейной трапеции S _ABCD , которая образована графиком функции, осью aбсцисс и ординатами, восстановленными из точек х₁ = a и х_n = b,

Приближенно, значение искомой площади можно найти, разбив криволинейную трапецию на отдельные прямоугольники и сложив их площади. Основанием этих прямоугольников служат малые интервалы D х₁, D х₂ ,.., D х_n, а высотами - ординаты y₁, y₂ , y₃ ,....., y_n. Если основания D х_i малы, то:

. (1)

Соотношение (1) выполняется тем точнее, чем меньше основания прямоугольников D х_i. Точное же значение искомой площади будет найдено при предельном переходе:

. (2)

Сумма, всех произведений у_i D х_{i, ,} стоящая под знаком предела, называется интегральной суммой, а ее предел - определенным интегралом от функции y = f(x) на участке [ a,b ]. Значения а и b называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Из проведенного рассмотрения геометрической задачи следует:

1) Определенный интеграл имеет геометрический смысл площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и ординатами, восстановлеными из значений аргумента в пределах интегрирования.

2) Саму операцию интегрирования можно описать как сложение бесконечного большого количества бесконечно малых величин. Действительно, в формуле (2) при стремлении х_i ® 0 каждое слагаемое y_i х_i ® 0 (т.е. является бесконечно малой величиной - каждый отдельный прямоугольник стремится выродиться в линию), но число этих слагаемых стремится к бесконечности.

Вычисление определенного интеграла производится с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

.

То есть, для нахождения определенного интеграла необходимо найти для подынтегральной функции f (x) первообразную F (x) и взять разность значений этой функции на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример 1. Возьмем параболу у = х² и поставим задачу: вычислить площадь S фигуры, образованной графиком параболы, осью х и ординатами, восстановленными из значений х₁ = -1 и х₂ = 2. На рис.4 эта искомая площадь заштрихована.

Задача сводится к нахождению определенного интеграла:

Пример 2. Скорость движения тела v = 3t² - 2t (м/с). Какой путь S пройдет тело за 5 с от начала движения? Решение сводится к нахождению определенного интеграла
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ