Властивості векторного добутку двох векторів

Алгебраїчні.

1. антикомутативність;

2. - асоціативність відносно скалярного множника a;

3. дистрибутивність відносно додавання векторів.

Зауваження. Перелічені властивості дозволяють перемножати векторні многочлени векторно за правилами алгебри скалярних величин. але при цьому треба строго додержуватися порядку слідування множників.

Геометричні.

4. Векторний добуток двох векторів дорівнює нуль- вектору тоді і тільки тоді, коли ці вектори колінеарні:

||

5. Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах, віднесених до спільного початку:

в

О φ д

А

Як приклад, обчислюємо векторні добутки ортів ПДСК:

за властивістю 4;

за власт.1

Векторний добуток в координатні формі.

Нехай вектори і задані координатами в ПДСК:

Знайдемо їх векторний добуток

+

+ = групуємо за ортами =

= = вираз в дужках – визначники другого порядку =

а_у а_z а_х а_z a_х а_у

= b_у b_z а_z b_z b_х b_у

= за теоремою про розкладання визначника за елементами рядка,а саме першого рядка =

= ;

Отже, векторний добуток 2-х векторів, заданих координатами в ПДСК, визначається за формулою:

= ;

Координатами вектора в базисі є

а_у а_{z -} а_х а_z a_х а_у

= b_у b_z а_z b_z b_х b_у

,,

(алгебраїчні доповнення елементів першого рядка визначника 3- го порядку)

Приклад 1: Знайти площу тр- ка, заданого вершинами А (1; 2; 0), В (0; -2; 1),

С (-1; 0; 2). = (-1; -4; 1), = (-2; -2; 2)

-

(кв. од)

9. Мішаний добуток векторів та його властивості.

Нехай дано три вектори і Розглянемо добутки цих векторів, утворені за допомогою двох видів добутків скалярного та векторного

Результат першого добутку скаляр. Результат другого вектор, який називається подвійним добутком або векторно- векторним добутком трьох даних векторів. Для знаходження подвійного векторного добутку використовують формули.

Результат третього добутку скаляр, який називається мішаним або векторно-скалярним добутком трьох векторів.

Означення: Мішаним добутком векторів і називається скалярний добуток вектора на вектор .

Властивості мішаного добутку

1. При переставлені будь-яких двох множників мішаний добуток змінить знак на протилежний. Наприклад

2. При циклічному переставлені множників мішаний добуток не змінюється.

3. У мішаному добутку знаки векторного та скалярного добутків можна міняти

місцями

Зауваження: З урахуванням властивості 3 мішаний добуток позначають просто

.

4. Вектори і компланарні тоді і тільки тоді коли їх мішаний добуток дорівнює 0.

і компланарні

Доведення: Якщо вектори і компланарні, то вони лежать або в паралельних площинах, або в одній площині. Вектор , очевидно перпендикулярний до вектора , тому їх скалярний добуток дорівнює 0.

Якщо і компланарні, то і лежить з векторами і в одній площині, тобто вектори і компланарні.

5. Якщо вектори і утворюють праву трійку, то їх мішаний добуток додатній, а якщо ліву, то від’ємний.

6. Модуль мішаного добутку трьох векторів дорівнює обєму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах віднесених до спільного початку.

0

Доведення: Побудуємо на трьох векторах і паралелепіпед. Його об’єм , де S- площа основи, h- висота. Але ,

(+, якщо і утворюють праву трійку, -, якщо ліву)

.

Мішаний добуток в координатні формі

Нехай вектори і задані координатами в ПДСК.

, , .

Знайдемо їх мішаний добуток:

Отже векторний добуток трьох векторів, заданий координатами в ПДСК, визначається за формулою: ;

Приклад: Довести, що точки А(0; 1; 2), В(-2; 0; -1), С(-1; 5; 8), Д(1; 6; 11) лежать в одній площині.

Означення: 4 точки лежать в одній площині, якщо вектори , , компланарні. Знаходимо вектори: =(-2;-1;-3), =(-1;4;6), =(1;5;9).

За властивістю 4, якщо =0, то вектори компланарні. Перевіримо компланарність векторів , і .

= =-72+15-6+12+60-9=0.

Отже, вектори , і компланарні, тому задані точки лежать в одній площині.