Зауваження . Різниця - двох векторів і визначається як сума вектора і вектора , протилежного вектору

- = + (- )

Означення. Добутком вектора на дійсне число a називається вектор a , довжина a , а напрям збігається з напрямом вектора , якщо a > 0, і протилежний йому, якщо a < 0. Якщо a = 0 або = , то a = 0.

Теорема. Ненульові вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує єдине число a таке, що = a .

Властивості лінійних операцій над векторами.

1. + = + - комутативність додавання векторів;

2. ( + ) + = + ( + ) –асоціативність додавання;

3. + = - існування нульового вектора;

4. + (- ) = - існування протилежного вектора;

5. ( ) = a ( ) – асоціативність множення на число;

6. ( + ) = a + - дистрибутивність відносно додавання чисел;

7. a( + ) = a + a - дистрибутивність відносно додавання векторів.

8. 1 ^. = ,

9. (–1) = - .

Доведення випливає з означень операцій над векторами та з їх геометричної інтерпритації.

Розглянуті властивості дозволяють робити перетворення в лінійних операціях над векторами так само, як у звичайній алгебрі: векторні доданки можна переставляти, групувати, виносити за дужки спільні множники як скалярні, так і векторні.