Математическая модель реактора идеального перемешивания

Математическое описание реактора идеального смешения (рис. 5.1) характеризует изменение концентраций в реакционной среде во времени, которое обусловлено движением потока (гидродинамический фактор) и химическим превращением (кинетический фактор). Поэтому модель реактора идеального перемешивания можно построить на основании типовой модели идеального перемешивания с учётом скорости химической реакции [3,4].

Рис. 5.1. Схема реактора идеального перемешивания

Модель идеального перемешивания представляет идеализированный поток и является теоретической моделью. Согласно этой модели принимается, что поступающий в аппарат поток мгновенно распределяется по всему объёму вследствие полного (идеального) перемешивания частиц среды. При этом концентрация распределённого вещества во всех точках аппарата и в потоке на выходе из него одинакова:

.

Дифференциальное уравнение модели идеального перемешивания будет иметь вид

, (5.1)

где – время контакта, характеризующее среднее время пребывания частиц в реакторе, с;

V – объём реактора, м³;

– объёмный расход вещества, м³/ч.

Уравнение (5.1) описывает изменение концентраций вещества в зоне идеального перемешивания за счет движения потока.

Тогда, с учётом кинетического фактора, динамическая модель изотермического реактора идеального перемешивания непрерывного действия будет иметь вид

. (5.2)

Такое уравнение записывается по каждому из компонентов, участвующих в реакции. Тогда

С_i – концентрация i -го вещества, кмоль/м³;

w_i – скорость реакций по i -му веществу, кмоль/м³.

Система приведённых уравнений является математической моделью реактора идеального перемешивания с учётом изменения концентрации во времени (динамическая модель).

Например, для реакции уравнение (5.2) можно записать:

C _вх = С_{А 0}; C _вых = C_А; w_А = -k×C_А;

. (5.3)

В установившемся (стационарном) режиме работы реактора , тогда уравнение (5.3) можно записать:

;

; (5.4)

.

Используя выражения (5.3), (5.4), можно найти основные параметры, характеризующие работу аппарата:

1) t – время пребывания исходного вещества в реакторе, от величины которого зависит объём аппарата (чем меньше t, тем меньше V);

2) изменение концентрации реагирующих веществ как функция f (t), а, следовательно, рассчитать степень превращения и селективность процесса.

Аналогично уравнению материального баланса реактора идеального перемешивания (5.2) записывается уравнение теплового баланса. Так, для адиабатического реактора получим

, (5.5)

где – скорость j -й химической реакции, 1/с;

- – тепловой эффект j -й химической реакции, Дж/моль;

– теплоёмкость реакционной смеси, Дж/моль×К;

– температура на входе в реактор, К;

– текущее значение температуры, К.

Теплоёмкость i -го вещества как функция температуры описывается следующим уравнением:

. (5.6)

Теплоёмкость смеси вычисляется по правилу аддитивности:

, (5.7)

где С_i – концентрация i -го вещества смеси, мольн. доли.

При этом зависимость константы скорости химической реакции от температуры выражается уравнением Аррениуса

, (5.8)

где k_i – константа скорости i- й химической реакции (для реакции первого порядка, с^-1);

k_{i ,0} – предэкспоненциальный множитель, с^-1;

E_i – энергия активации i -й реакции, Дж/моль;

R – универсальная газовая постоянная, R = 8,314 Дж/моль×К.

Для того чтобы исследовать динамический режим работы реактора идеального перемешивания, т. е. проследить изменение концентрации реагирующих веществ и температуры во времени на выходе из реактора, необходимо решить систему дифференциальных уравнений материального баланса по каждому из компонентов и уравнение теплового баланса.