Производные высших порядков. Механический смысл второй производной

Запишем функцию y’_x в параметрической форме:
В случае параметрического задания функции первую производную вычисляли по формуле:

(*)

и записывали y’_x тоже в параметрической форме:
К ней снова применим формулу (*) (при условии, что производные второго порядка существуют):
.
Результат тоже записываем в параметрической форме и берем третью производную и т.д. Так можно получить производную от y по x любого порядка.

Пример 2. Найти y’’_xx функции
Решение. Найдем y’_x по формуле (*): .
Производную y’_x запишем в параметрической форме
К этой функции снова применим формулу (*):
.

Пример 3. Для функции найти y’’’_xxx.
Решение. тогда и . Получаем

Еще раз применяем формулу (*):
.
Если требуется получить зависимость y’’’_xxx от x, то выражаем x из соотношения x=e^-t и подставляем в y’’’_xxx.
Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно находить тем же способом, что и первую производную, так как производная любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если ее не разрешать относительно производной предыдущего порядка.