Производная степенной, показательной и логарифмической функции

В предыдущих параграфах мы уже рассматривали некоторые примеры на нахождение производной от степенной функции у = хⁿ при натуральном п. Так, например, мы доказали, что (х) ' = 1, (x ²)' = 2 х. Используя теорему о производной произведения двух функций, легко получить производные и любых других натуральных степеней х. Например,

(x ³)' = (x ² • х)' = (x ²)' • х + x ² • (х)' = 2 х • х + x ² • 1 = 3 x ²;

(x ⁴)' = (x ³ • х)' = (x ³)' • х + x ³ • (х)' = 3 x ² • х + x ³ • 1 = 4 x ³;

(x ⁵)'= (x ⁴ • х)' = (x ⁴)' • х + x ⁴ • (х)' = 4 x ³ • х + x ⁴ • 1 = 5 x ⁴

и т. д. Нетрудно подметить общее правило для нахождения производной от функции у = хⁿ при любом натуральном п.

Чтобы найти производную функции у = хⁿ, нужно показатель п взять коэффициентом., а у самого х показатель понизить на единицу, то есть

(хⁿ)' = пх^{n— 1}. (1)

Например,

(x ¹⁰)'= 10 x ⁹, (x ⁴⁵)'= 45 x ⁴⁴

Рассуждения, которые мы проводили здесь в подтверждение справедливости формулы (1), являются лишь наводящими; за строгое доказательство этой формулы их принять, конечно, нельзя. К формуле (1) мы еще вернемся в § 262 где и дадим ее строгое доказательство.

Полученное нами правило нахождения производной от степенной функции верно не только для натуральных, но и для любых показателей, то есть для любого действительного числа α

(х ^α)' = α х ^{α —1} (х > 0).

Доказательство этой формулы выходит за пределы школьной программы и поэтому здесь не приводится.

Примеры:

1) Пусть у = ¹ / _x. Тогда

у ' = (¹ / _x)' = (х ^—1) = — 1 • х ^—1—1 = — х ^—2 = — 1/ х ² (x =/= 0).

2) Пусть у = √ x. Тогда

у ' = (√ x)' = (x ^½ )' = ¹/₂ x ^{½ —1} = ¹/₂ x ^{— ½} = ¹/_{2√ x} (x > 0)

3) При у = ¹/_{√ x}

у ' = (¹/_{√ x} )' = (x ^—½ )' = —¹/₂ x ^{—½ —1} = —¹/₂ x ^{— 3/2} = — ¹/_{2 x √ x} (x > 0)