Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Предположим, что в условиях схемы Бернулли проводится испытаний, в результате каждого из которых с вероятностью () происходит событие . Интегральная теорема Муавра-Лапласа содержит приближенную формулу для вероятности того, что событие появится не менее раз и не более раз. С ростом количества испытаний числа и растут, а вероятность постоянна.

Теорема. Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

где , .

Доказательство. На основании теоремы сложения вероятности для несовместных событий:

.

Отсюда, используя локальную теорему Лапласа:

,

где (); .

Поскольку ,

следовательно .