Tочки перегиба

Определение 3. Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через точку x₀ функцияменяет характер выпуклости.

Теорема 20 (необходимое условие точки перегиба). Если функция f(x) имеет непрерывную в точке x₀ производную f’’(x) и x₀ – точка перегиба, то f’’(x₀) = 0.

Доказательство. Если бы в точке перегиба x0 выполнялось неравенство f’’(x₀) > 0 или f’’(x₀) < 0, то в силу непрерывности f’’(x) существовала бы окрестность точки x0, в которой f’’(x) > 0 или f’’(x) < 0. По теореме 19 в этой окрестности функция была бы выпукла вниз или вверх соответственно, что противоречит наличию перегиба в точке x₀.

Из теоремы 20 следует, что точками возможного перегиба функции f(x) могут быть точки x0 в которых f’’(x₀) = 0, либо точки, в которых f’’(x) не существует, в частности она бесконечна.

Теорема 21 (первое достаточное условие перегиба). Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема вокрестности точки x₀ и при переходе через точку x₀ производная f’’(x) меняет знак, то точка x₀ является точкойперегиба функции f(x).

Доказательство. Пусть, к примеру, f’’(x) > 0 при x<x₀ и f’’(x)<0 при x>x₀. Тогда по теореме 19 функция f(x) выпукла вниз на интервале (x; x₀) и выпукла вверх на интервале (x₀; x), т.е. x₀ – точка перегиба.

Теорема 22 (общее достаточное условие перегиба). Пусть в точке x₀ для функции f(x) выполнены условия f’’(x₀)=f’’’(x₀)=...=f⁽ⁿ⁻¹⁾ (x₀)=0

и в точке x₀ существует непрерывная производная f (x₀), n> 2, причём f (x₀) = 0. Если n – нечётное число, тов точке x₀ функция f(x) имеет перегиб.

Доказательство. Разлагая f(x) по формуле Тейлора n−1-го порядка с учетом условия получаем

f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) + (x − x₀)ⁿ, (5.32)

где ξ расположена между x₀ и x.

Если Y (x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)), то из (5.32) имеем

f(x) − Y (x) = (x − x₀)ⁿ, (5.33) где n – нечётное.

В силу непрерывности f⁽ⁿ⁾(x) в точке x₀ существует окрестность этой точки, в которой производная f⁽ⁿ⁾(x) сохраняет знак, совпадающий со знаком f⁽ⁿ⁾(x₀). Поэтому можем считать, что знаки f⁽ⁿ⁾(x₀) и f⁽ⁿ⁾(ξ) совпадают. Тогда из равенства (5.33) получаем, что при переходе x через x₀ слева направо график функции располагается по разные стороны от касательной, т.е. в точке (x₀, f(x₀)) имеется перегиб.