Условие монотонности функции

Теорема13. Для того чтобы дифференцируемая наинтервале (a; b) функция f(x) возрастала (убывала) необходимои достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной, т. е. f’(x) 0 (неположительной,f’(x) 0). Доказательство. Необходимость. Если функция f(x) возрастает на (a; b), то для любой точки x0 ∈ (a; b) при x > 0 имеем y = f(x₀ + x) − f(x₀) 0. Поэтому 0 и переходя к пределу при x → 0, получим f ’(x) 0.

Достаточность. Пусть a < x₁< x₂< b. Тогда, по формуле Лагранжа f(x₂) − f(x₁) = f’(ξ)(x₂ − x₁), где x₁< x₂. Так как x₂ − x₁> 0, то при f’(x) 0 на (a; b) (откуда следует, что, в частности, f’(ξ) 0) будем иметь f(x₁) f(x₂) т. е. функция f(x) возрастает.

Следствие 1. Если функция непрерывна на некотором интервале и имеет всюду в нём положительную (отрицательную) производную, кроме, быть может, конечного числа точек, в которых производная обращается в нуль или не существует, то функция строго возрастает (строго убывает).

Доказательство непосредственно следует из теоремы 13: достаточно её последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал указанным конечным множеством точек.