Производные высших порядков

Пусть f:X → Y функция, дифференцируемая в каждойточкеx∈X. Ее производная в точке x есть некоторая функция g(x) = f’(x). Если функция g(x) дифференцируема, то имеет смысл определить ее производную g’(x) =(f’(x))’, которая называется второй производной функции f(x) и обозначается f’’(x). Таким образом, f’’(x) =(f’(x))’. Аналогично f’’(x) может оказаться дифференцируемой функцией в точке x, тогда f’’’(x)=(f’’(x))’ есть третья производная функции f(x). Точно так же, если в точке x определена производная порядка n−1 функции f(x), то производная порядка n или n-ая производная функции f(x) определяется формулой f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’, n=1,2,…

Отметим, что в формуле принято f⁽⁰⁾(x) = f(x), т.е. производная нулевого порядка есть сама функция.

Для n-ой производной функции f(x) применяются и другие обозначения: f⁽ⁿ⁾_xx…x(x), f⁽ⁿ⁾_xⁿ(x), .

Функция f(x) называется n раз дифференцируемой в точке x∈X, если в этой точке у нее существуют все производные до n-го порядка включительно.

Если f(x) дифференцируемаn раз в каждой точке x∈X и f⁽ⁿ⁾(x) является непрерывной функцией на X, то f(x) называется n раз непрерывно дифференцируемой функцией или функцией класса C⁽ⁿ⁾[X]. Множество непрерывных функций, определенных на X, обозначается C[X]. Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой.