Область использования ВНД

1. Критерий оценки инвестиционного проекта:

- для альтернативных проектов чем выше ВНД, тем больше эффективность инвестиций (выбирается вариант с максимальным ВНД);

- для одного инвестиционного проекта:

а) собственные инвестиции Евн > Е;

б) заемные инвестиции Евн >і – инвестиции эффективны (Евн – і – доход предпринимателя);

в) Евн = і – доходы лишь окупают инвестиции;

г) Евн < і – инвестиции убыточные.

2. Ранжирование инвестиционных проектов при условии их сопоставимости → max. Проекты с максимальной величиной ВНД более привлекательные.

3. Индикатор степени риска (оценка устойчивости проекта): чем больше ВНД превышает принятую норму дисконта (чем больше разность ВНД – Е), тем больше «запас прочности проекта».

Следует помнить, что ВНД определяется не только суммой затрат, но и потоком доходов, являющихся индивидуальными по величине члена потока и по очередности их возникновение (рис. 5.4)

10%

ВНД (предельная цена) 12%

16%

Рисунок 5.4 – Зависимость ВНД от распределения денежных потоков за периодами

Модифицированная ставка доходности (МСД, MIRR ) инвестиционного проекта позволяет устранить существенный недостаток ВНД, который возникает в случае вложения инвестиций по годам (а не один раз).

Если инвестиции по проекту осуществляются на протяжении нескольких лет, то временно свободные средства, которые инвестор должен вложить в проект в будущем, можно реинвестировать (временно) в другой проект, который должен быть безопасным и ликвидным, так как инвестиции должны быть возвращены к моменту их вложения в данный проект. Таким образом, все затраты приводятся к текущей стоимости (первого периода вложения в проект) по безопасной ликвидной ставке.

Срок окупаемости с дисконтированием – Ток (период возврата инвестиций DРР). Под сроком окупаемости с дисконтированием понимают продолжительность периода, в течение которого сумма чистых доходов, дисконтированных к моменту завершения инвестиций, равняется сумме наращенных инвестиций (рис. 5.5)

	Точка приведення		PV

Рисунок 5.5 – Расчетная схема для определения срока окупаемости

Срок окупаемости – наименьшее значение горизонта расчетов, при котором чистый дисконтированный доход становится и в дальнейшем остается неотрицательным.

При разных значениях нормы дисконта срок окупаемости будет разным. Если при определении срока окупаемости принимают Е=0, то говорят о сроке окупаемости без дисконта.

Все рассмотренные показатели эффективности инвестиций связаны и позволяют оценить эффективность с разных сторон, поэтому их надо использовать в комплексе:

- если NPV>0, то ВНД >Е, ІД >1;

- если NPV<0, то ВНД <Е, ІД <1;

- если NPV=0, то ВНД=Е, ІД =1.

2. Оценка альтернативных инвестиций. Сравнительный анализ проектов разной продолжительности.

При оценке альтернативных инвестиций необходимо сделать выбор одного (иногда нескольких) проектов, основываясь на каких-то показателях, например, NPV, ІД, ВНД. Методы, которые основаны на дисконтированных оценках с теоретической точки зрения, являются более обоснованными, поскольку учитывают фактор времени.

Однако, несмотря на отмеченную взаимосвязь между этими показателями, при оценке альтернативных инвестиций проблема выбора критерия остается, потому что чаще всего результаты расчетов противоречат друг другу.

Пример 5.1. Необходимо выбрать наилучший вариант инвестиционного проекта из трех при норме дисконта Е=10% (рис. 5.6)

Выводы по расчетам:

1. Максимальный NPV= 105 ден. ед. имеет проект 2, то есть этот проект дает самый большой прирост капитала фирмы.

2. Максимальный индекс доходности ІД=1,455 ден. ед./ ден. ед. имеет проект 1, то есть текущая стоимость денежного потока на 45,5% превышает величину стартового капитала.

3. Максимальную внутреннюю норму доходности ВНД= 35,4% имеет проект 3. То есть, каждый проект имеет максимальное значение одного из критериев.

Итак, каждый проект может иметь максимальное значение одного из критериев.

Проект 1 NPV ID ВНД

Рисунок 5.6 – Показатели эффективности инвестиционных проектов

В случае противоречивости показателей за основу нужно брать NPV.

Для более обоснованного анализа инвестиционных проектов рекомендовано использовать график зависимости NPV от нормы дисконта NPV=f(Е), который:

- представляет собой нелинейную зависимость;

- пересекает ось ординат в точке NPV=f(Е=0), то есть NPV₀=SД – SВ (недисконтированные);

- пересекает ось абсцисс в точке, которая соответствует ВНД проекта.

Пример 5.2. Продолжим решениепримера 5.1. Исключим из дальнейшего рассмотрения проект 1, поскольку его NPV и ВНД наименьшие, а ІД немного выше, чем у проектов 2 и 3. Показатели проектов 2 и 3 противоречивые, поэтому проведем анализ с помощью графиков NPV=f(Е). Для их построения проведем дополнительные расчеты:

Из этих расчетов видим, что выбор проекта зависит от избранной ставки Е. При Е =10% лучшим является проект 2, однако если бы норма дисконта Е равнялась бы 20%, то наилучшим был бы проект 3.

Построим график NPV=f(Е)

Рисунок 5.7 – Поиск точки Фишера

Кривые на рис. 5.7 имеют точку пересечения, которая имеет название точки Фишера.

Характеристики точки Фишера:

1) показывает значение нормы дисконта Е, при которой альтернативные проекты имеют одинаковое значение NPV;

2) предельная точка, которая разделяет ситуации, «которые улавливаются» критерием NPV и не «улавливаются» критерием ВНД.

- если Е > (больше) точки Фишера, то NPV и ВНД не противоречат друг другу и оба показывают наилучший проект;

- если Е < (меньше) точки Фишера, то NPV и ВНД противоречат друг другу и наилучший проект определяется по максимальному значению NPV (NPV позволяет выявить наилучший вариант в любой ситуации).

Значение нормы дисконта Е в точке Фишера количественно равняется ВНД приростного потока, то есть потока, который состоит из разности соответствующих элементов исходных потоков. Для поиска точки Фишера необходимо:

- составить гипотетический проект (приростной поток);

- найти ВНД этого потока.

Кроме нормы дисконта Е, на результаты выбора наилучшего проекта могут заметно влиять различия в сроках жизни инвестиций. При сравнении альтернативных проектов разной продолжительности и выборе наилучшего из них можно использовать следующие методы:

- метод наименьшего общего кратного;

- метод бесконечного повторения сравниваемых проектов;

- метод эквивалентного аннуитета.

Метод наименьшего общего кратного (НОК) имеет следующий алгоритм.

1. Определение наименьшего общего кратного сроков реализации проектов:

где - сроки реализации проектов, лет

2. Определение количества повторений проекта:

3. Расчеты суммарного значения NPVn инвестиционного проекта, который повторяется. Исходя из предпосылки, что проект повторяется n раз в соответствии с величиной Z, NPVn можно рассчитывать:

а) по формуле NPV повторяющегося потока;

б) по формуле NPVn

(5.17)

где – NPV исходного проекта, ден. ед.;

Т – продолжительность исходного проекта, лет;

n - количество посторений исходного проекта

Выбор наилучшего проекта происходит по максимальному значению NPVn (NPVn →max)

Недостаток метода: значительная трудоемкость расчетов (если анализируются несколько проектов с разным сроком реализации, то расчетов довольно много. Например, рассматривают 3 проекта со сроками реализации: А – 3 года, Б – 4 года, В – 5 лет. Тогда НОК=60 → n_А=20, n_Б=15, n_В=12 раз)

Метод бесконечного повторения сравниваемых проектов.

В нем предполагается, что каждый из проектов реализуется неограниченное число раз. Тогда в формуле (5.17) количество слагаемых в скобках будет стремиться к бесконечности, а значение NPV∞ может быть найдено по формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии

(5.18)

Метод эквивалентного аннуитета (определение NPV в годовом выражении).

Эквивалентный аннуитет ЕА (equivalent annuity) – это уровневый (стандартный) аннуитет, который имеет ту же продолжительность, что и проект, который оценивается, и одну и ту же величину текущей стоимости, что и NPV проекта (рис. 5.8).

Рисунок 5.8– Схема определения эквивалентного аннуитета

Формула расчетов ЕА определяется исходя из формулы текущей стоимости аннуитета, а именно

Так как

(5.19)

где - фактор текущей стоимости аннуитета.

Тема 6. Методы экспертных оценок (6 ч.)

1. Основные идеи методов экспертных оценок.

2. Методы теории ранговой корреляции.

3. Корреляция рангов и ее измерение в случае двух экспертов (групп экспертов). Весовые коэффициенты рангов.

4. Случаи нескольких экспертов. Определение степени согласованности мнений экспертов.

1. Основные идеи методов экспертных оценок (к самост. изучению).

Менеджеры, экономисты, инженеры зачастую в своей деятельности вынуждены принимать решения в случае недостаточности количественных данных для при оценивании параметров, не имеющих количественного выражения. Зачастую при этом используются методы экспертных оценок.

Под экспертными оценками понимают комплекс логических и математических процедур, направленных на получение от специалистов информации, ее анализ и обобщение с целью подготовки и разработки рациональных решений.

Методы экспертных оценок – это методы организации работы со специалистами-экспертами и обработки мнений специалистов.

Эти мнения (суждения) обычно выражаются частично в количественной, частично в качественной форме. Экспертные исследования осуществляют с целью подготовки информации для принятия решений компетентным лицом.

Методы экспертных оценок можно разделить на две группы:

1. Методы коллективной работы экспертной группы.

2. Методы получения индивидуальных суждений членов экспертной группы.

Методы коллективной работы экспертной группы предполагают получение общего мнения в ходе общего обсуждения решения проблемы. Основное преимущество данных методов заключается в возможности всестороннего анализа проблемы. Недостатками является сложность процедуры получения информации, сложность формирования группового мнения по индивидуальным суждениям экспертов, возможность давления авторитетов в группе.

Методы коллективной работы включают методы «мозговой атаки», «сценариев», «совещаний», «суда» и «деловых игр».

Методы «мозговой атаки» основаны на свободном выссказывании идей, направленных на решение проблемы. Потом из них выбираются самые ценные. В этом методе проблема должна быть сформулирована в основных терминах с выделением центрального вопроса. Метод предусматривает отсутствие любого вида критики, которая мешает формулировке идеи, стремление получить максимальное количество идей с учетом принципа повышения вероятности получения полезных предложений с увеличением их общего количества, поощрение различных комбинаций идей и путей их усовершенствования.

Метод используется в случаях:

- определения возможных путей развития прогнозированного процесса или объекта, один из которых оптимальный (при этом определяется полный набор возможных путей развития);

- определения ниаболее широкого круга применяемых методов решения проблемы;

-определения круга факторов, которые необходимо принимать во внимание, определяя окончательный вариант решения задачи.

Метод «сценариев» представляет собой совокупность правил по изложению в письменном виде предложений специалистов по решаемой проблеме. Сценарий представляет собой документ, который содержит анализ проблемы и рекомендации по его реализации. Сначала эксперты разрабатывают предложения индивидуально, а затем согласовывают их и излагают в форме единого документа.

Этот метод используют прежде всего для экспертного прогнозирования. Он заключается в декомпозиции задачи прогнозирования, что предусматривает выделение набора отдельных вариантов развития событий (сценариев), и в совокупности всех возможных вариантов развития исследуемого процесса. При этом каждый отдельный сценарий должен допускать возможность достаточно точного прогнозирования, а общее число сценариев должно быть не очень большим. То есть при использовании метода необходимо:

- построить исчерпывающий, но доступный для рассмотрения набор сценариев;

- осуществить прогнозирование в рамках каждого конкретного сценария с целью получения ответов на вопросы, интересующие исследователя.

Каждый из этапов можна формализовать лишь частично, так как существенная часть рассуждений проводится на качественном уровне, причем такие рассуждения считаются убедительными в большинстве ситуаций, а попытки уточнить значения используемых слов с помощью, например, теории нечетких множеств, приводят к использованию громоздких математических моделей.

Так как набор сценариев должен быть ограничен, то из рассмотрения исключаются маловероятные события. Прогнозирование в рамках каждого сценария проводится в соответствии с определенной методологией (например, с использованием прогнозирования на основе изучения динамических рядов). При принятии решения можно исходить из разных критериев, в частности, ориентироваться на то, что ситуация складывается наихудшим, наилучшим или нейтральным (средним) образом. При этом можна попробовать наметить меры, которые обеспечивают минимально допустимые полезные результаты при любом варианте развития ситуации.

Главное преимущество метода – комплексный охват проблемы в доступной для восприятия форме. Недостатки – неоднозначность и нечеткость рассматриваемых вопросов и недостаточная обоснованность отдельных решений.

«Метод совещаний» - самый простой. Он предусматривает проведение дискуссии (совещания) с целью разработки единой коллективной мысли относительно актуальной проблемы. В отличие от метода «мозговой атаки» каждый эксперт может не только выссказывать свою мысль, но и критиковать предложения других членов экспертной комиссии. В результате этого уменьшается возможность ошибок при выработке решения проблемы. Однако недостатком метода является возможность принятия ошибочного мнения одного из участников в силу его служебного положения, авторитета или ораторских способностей.

«Метод суда» является разновидностью «метода совещаний» и реализуется по аналогии с ведением судебного процесса. В роли «подсудимых» выступают выбранные варианты решений, в роли «судей» - лица, которые приняли эти решения, в роли «прокуроров» и «защитников» - члены экспертной группы. Роль «свидетелей» исполняют разные условия выбора и доводы экспертов. Этот метод целесообразно использовать при наличии нескольких групп экспертов, которые придерживаются разных вариантов решения.

«Метод деловых игр» основан на моделировании функционирования социальной системы управления при выполнении операций, направленных на достижение цели исследования. Экспертные оценки формируются в ходе коллективного обсуждения, при этом допускается активная деятельность экспертной группы, за каждым членом которой закреплены определенные обязанности в соответствии с заранее установленными правилами и программами. Недостаток метода – сложность создания условий, максимально приближенных к реальной проблемной ситуации.

Кроме того часто используются методы выявления индивидуальных суждений членов экспертной группы, которые основаны на предварительном получении информации от экспертов, независимо друг от друга, с последующей обработкой полученных данных (метод анкетного опроса, интервью, метод «Дельфи»). Метод «Дельфи» представляет собой итеративную процедуру анкетного опроса, при этом придерживаются требования отсутствия контактов между экспертами и обеспечения их полной информацией про все результаты оценок после каждого тура опроса с сохранением анонимности оценок, аргументации и критики. На каждом этапе эксперты пересматривают свои оценки с учетом полученной информации. Практика показывает, что после 3-4 этапов ответы экспертов стабилизируются. Достоинством метода является наличие обратной связи в ходе опроса, что значительно повышает объективность экспертных оценок.

2. Методы теории ранговой корреляции.

Принимать решения можна либо на основе объективных данных (в том числе с помощью оптимизационных методов и вероятностно-статистических моделей), либо на основе мнений специалистов (экспертов). Методы экспертных оценок постоянно используются в задачах стратегического и оперативного управления, технико-экономического анализа, управления природопользованием и т.п. Эти методы широко используют при решении противоречивых, многокритериальных проблем во всех сферах деятельности, при обобщении факторов, которые не имеют количественного выражения и т.д.

Все множество таких проблем можно разделить на два класса. К первому классу относятся проблемы, для решения которых имеется необходимый информационный потенциал (уровень знаний и опыта специалистов-экспертов). Поэтому считается, что мнения експертов близки к истинному значению и группируются возле него. Отсюда следует, что для обработки результатов группового экспертного исследования проблем первого класса можно успешно использовать методы математической статистики, которые базируются на усреднении данных.

Ко второму классу относят проблемы, для решения которых не накоплен достаточный информационный потенциал, в связи с чем мнения экспертов могут сильно отличаться друг от друга, при этом мнение эксперта, сильно отличающееся от остальных, может оказаться истинным. Поэтому обработка результатов опроса экспертов должна базироваться на методах качественного анализа.

Однако, проблемы первого класса являются более распространенными, поэтому основное внимание уделим методам обработки результатов экспертизы именно для этого класса.

При этом обычно возникают следующие задания:

1) построение обобщающей оценки объектов на основе индивидуальных оценок экспертов;

2) построение обобщающей оценки на основе парного сравнения объектов каждым экспертом;

3) определение относительных весов объектов;

4) определение согласованности мнений экспертов;

5) определение зависимостей между результатами оценивания различных экспертов;

6) оценка надежности результатов обработки.

Отметим, что обработкой результатов экспертизы можна выявить зависимости между суждениями различных экспертов и тем самым установить расхождения во мнениях экспертов. Важную роль также играет установление зависимости между результатами экспертного оценивания, построенными по различным показателям сравнения объектов. Выявление таких зависимостей позволяет раскрыть связанные показатели сравнения и установить их группировку по степени связи.

Важность задачи определения зависимостей является очевидной. Например, если показателями сравнения являются разные цели, а объектами – средства достижения целей, то установление взаимосвязей между результатами экспертного оценивания, которое упорядочивает средства с точки зрения достижения целей, позволяет обосновано ответить на вопрос, в какой степени достижение одной цели при данных средствах способствует достижению других целей.

Полученные от экспертов мнения часто выражены в определенной порядковой шкале.

Ранжирование – это процедура упорядочения объектов изучения, которая исполняется на основе принципа преимущества.

Ранг – это порядковый номер значений признака объекта экспертизы, размещенных в порядкевозрастания или убывания их величины.

С помощью системы рангов эксперты оценивают силу влияния каждого фактора на выбранный для исследования показатель. Заранее обговаривается порядок распределения рангов (например, самы высокий ранг присваивается самому значимому объекту). Эксперты размещают факторы по степени значимости. В ситуации, если при ранжировании два и более факторов получают одинаковые ранги, считают, что такие факторы (ранги) являются связанными. В этом случае считают, что ранг связанных факторов равняется среднему значению соответствующих номеров их мест в ранжировании (то есть среднему арифметическому всех тех значений рангов, которые бы имели эти факторы, если бы они были разными). Связанные факторы имеют одинаковые ранги, то есть являются эквивалентными, поэтому их объединяют в группу (связь). Такие факторы записываются в скобках.

Считается, что число факторов не должно превышать 15, если их больше, то сначала проводится отсев наименее значимых путем попарного сравнения. При проведении экспертных исследований для обеспечения объективности результатов считается, что количество экспертов должно быть в 2-3 раза больше числа факторв. Однако, на практике часто организуют исследования, в которых принимает участие только два эксперта или две группы экспертов.

Для обработки результатов исследования, итогом которого является ранжирование объектов различными экспертами, применяют методы теории ранговой корреляции, которые способны определить усредненный показатель мнения комиссии экспертов, выявлять совпадения индивидуальных ранговых показателей и определять степень согласованности мнений группы экспертов.

Методы ранговой корреляции реализуют в три этапа:

Первый этап – определение системы рангов; ранжирование факторов каждым экспертом; расчет суммы рангов, а затем средней величины ранга для каждого фактора; ранжирование факторов (упорядочение факторов по убыванию среднего ранга).

Второй этап – проверка степени согласованности мнений экспертов по имеющемуся распределению факторов по значимости их влияния на показатель; расчет коэффициентов ранговой корреляции (парной или многофакторной).

Третий этап – установление значимости коэффициентов ранговой корреляции.

3. Кореляция рангов и ее измерение в случае двух экспертов (групп экспертов). Весовые коэффициенты рангов.

Пусть проводится исследование n факторов, о которых два эксперта (или две группы экспертов) высказали свои суждения о влиянии факторов на процесс с помощью системы рангов. Предполагается, что наиболее значимому факторв эксперты присваивают наибольшее значение ранга (она равняется n). Результаты экспертной оценки представляют в виде таблицы рангов (см. табл. 6.1)

Таблица 6.1 – Таблица рангов (случай двух экспертов)

Номер фактора				…	n
Ранги первого эксперта				…
Ранги второго эксперта				…
Сумма рангов				…

Для каждого фактора находят сумму рангов по двум экспертам и среднее значение рангов, а затем проводят ранжирование факторов, то есть им присваивают соответствующие ранги. Если сумму рангов (то есть и средние значчения) совпадают, то им присваивается среднее значение.

Для оценки связи между мнениями двух экспертов используют ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла. Эти методы используют не только для качественных, но и количественных показателей, особенно при малом объеме совокупности, так как непараметрические методы ранговой корреляции не имеют ограничений по характеру распределения признака.

Рассмотрим определение тесноты связи между признаками с помощью коэффициента корреляции Спирмена. В случае отсутствия связанных рангов он определяется по формуле:

(6.1)

где - отклонения между рангами экспертов,

n - число исследуемых факторов.

Свойства коэффициента корреляции Спирмена:

1. Если между мнениями первого и второго экспертов наблюдается полное совпадение, то есть ранги совпадают во всех случаях, то ⍴=1.

2. Если между мнениями экспертов наблюдается полная противоположность, то ⍴ = -1.

3. Чем меньше соответствие между мнениями экспертов, тем ближе абсолютное значение ⍴ к нулю.

В том случае, если встречаются связанные ранги, величина (6.1) не может быть использована как мера корреляции и необходимо рассчитывать поправки

, (6.2)

где , - объем каждой группы одинаковых рангов среди рангов соответственно первого и второго экспертов.

В этом случае коэффициент ранговой корреляции Спирмена рассчитывают по формуле

(6.3)

В случае отсутствия связанных рангов побъемы групп одинаковых рангов равны 0, следовательно и поправки равны нулю, поэтому от обобщающей формулы (6.3) переходят к частной формуле (6.1).

Проверку значимости коэффициента Спирмена проводят на основе t –критерия Стьюдента по следующей схеме:

1. Для определенного уровня значимости α (обычно α=0,05), который характеризует вероятность ошибочных выводов, и числа степеней свободы k=n-2, определяют расчетное значение критерия по формуле

(6.4)

где n - число исследуемых факторов,

⍴ - коэффициент ранговой корреляции Спирмена;

- критическая точка двусторонней критической области, найденная по таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 6),

k – число степеней свободы (k=n-2)

2. Если, тогда коэффициент Спирмена можно считать статистически значимым, то есть гипотеза про отсутствие корреляции (или, что то же самое, про независимость мнений экспертов) должна быть отклонена. То есть между мнениями двух экспертов существует значимая корреляционная связь.

3. Если, то принимается гипотеза, согласно которой ранговую корреляционную связь между мнениями экспертов считают незначимой.

Напомним, что для измерения взаимосвязи между качественными и количественным признаками, которые характеризуют однородные объекты, упорядоченные по одному принципу, может также использоваться рангвый коэффициент корреляции Кендалла (изучить самостоятельно).

Сравнительная оценка коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла показывает, что расчет первого проводится по более простым формулам, кроме того он дает более точный результата, так как является оптимальной (по критерию минимума среднего квадрата ошибки) оценкой коэффициента корреляции. Поэтому в практических расчетах целесообразнее использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Вообще эти два показателя имеют достаточно близкие значения (коэффициент Кендалла обычно немного ниже) и при значительном числе исследуемых факторов между коэффициентами фиксируется соотношение

(где τ – коэффициент ранговой корреляции Кендалла)

Следует заметить, что коэффициент Спирмена можна использовать при числе факторов не менее пяти. Для предварительного определения уровня связи зависимости мнений экспертов можно использовать следующие оценки коэффициентов ранговой корреляции (см. табл. 6.2)

Таблица 6.2 – Качественная оценка коэффициента ранговой корреляции

Количественна мера тесноты связи	Качественная характеристика силы связи
⍴,	Мнения экспертов практически несогласованы
⍴,	Слабое согласование мнений экспертов
⍴,	Средняя степень согласованности мнений экспертов
⍴,	Значительная сепень согласованности мнений
⍴,	Высокая степень согласованности мнений экспертов
⍴,	Очень высокая согласованность, мнения экспертов практически совпадают

В случае ранжирования факторов, иногда для исследователя является интересным использование результатов такого ранжированя для перехода от ранговой шкалы к весовым коэффициентам, которые изменяются в диапазоне от 0 до 1. В этом случае используют элементарные приемы нормирования. Для этого определяют сумму рангов всех факторов, а весовой коэффициент фактора рассчитывают по формуле:

, (6.5)

где k – номер фактора,

i – итоговый ранг фактора,

s – сумма рангов всех факторов

Рассмотрим данные, представленные в таблице 6.3.

Таблица 6.3 – Определение весовых коэффициентов факторов

Номер фактора	Итоговый ранг фактора	Вес фактора
	4,5	0,08
		0,05
		0,02
		0,13
		0,15
	9,5	0,17
	9,5	0.17
		0,04
	4,5	0,08
		0,11
Сумма

Для данного условия s = 55, то есть:

- для факторов под номерами 6 и 7 имеем

для фактора 5:

и т.п.

4. Случаи нескольких экспертов. Определение степени согласованности мнений экспертов.

На практике в ряде случаев определяется мнение группы из m экспертов. Ранги при этом имеют двойную нумерацию ij, где i – характеризует номер эксперта, j – номер фактора. В этом случае составляется следующая таблица рангов (см. табл. 6.4)

Для ранжирования факторов, то есть для определения средних рангов для каждого фактора в случае многих экспертов используют различные методы, так как видов средних существует достаточно много. Но наиболе распространенным являются – метод средних арифметических рангов и метод медиан рангов.

Таблица 6.4 – Таблица рангов – случай многих экспертов

Факторы   Эксперты				…	n
				…
				…
…	…	…	…	…	…
m				…

Для характеристики средних рангов более обоснованным является использование медиан, однако метод средних является весьма распространенным и кроме того, целесообразно использовать оба метода с целью одновременного получения подобных выводов всеми методами, что помогает повысить объективность исследований.

Применение данных методов рассмотрим на примере. Пусть по заданию руководства фирмы анализируются восемь проектов по степени привлекательности для включения в план стратегического развития фирмы. Проекты оцениваются 12-ю экспертами, результаты ранжирования представлены в таблице 6.5 (ранг 8 присваивается наилучшему проекту).

Таблица 6.5 – Пример таблицы рангов

ij	Факторы	Сумма
			2,5	2,5
Сумма рангов			37,5	31,5

Примечание: эксперт 4 считает, что проекты под номерами 3 и 4 равноценные и выигрывают только у проекта 6. Поэтому данные проекты должны были стоять на 2 и 3 местах и получить соответствующие ранги. Так как они равноценны, то получают средний ранг (2+3)/2 = 2,5.

Анализируя результаты экспертизы, можно констатировать, что полного согласия среди экспертов нет, поэтому данные необходимо математически обработать.

Применим метод средних арифметических рангов. Для получения группового мнения экспертов подсчитывают суму рангов, выставленных экспертами каждому проекту, затем эту сумму необходимо поделить на число экспертов (см. табл. 6.6). По средним рангам определяют итоговый ранг, аналогично случаю двух экспертов, исходя из принципа – чем больше средний ранг, тем лучше проект. Для проверки правильности вычислений в дополнительной колонке записывают сумму по строке.

Таблица 6.6 – Результаты ранжирования факторов по методу средней арифметической

Факторы									Сумма
Сумма рангов			37,5	31,5
Средний арифмет. ранг	5,000	3,250	3,125	2,625	6,333	3,250	5,333	7,083	36,000
Итоговый ранг		3,5				3,5

Таким образом, окончательное упорядочение проектов имеет вид:

8,5,7,1, (2,6), 3, 4

То есть наилучшим определен проект под номером 8, наихудшим – проект под номером 4, а так как проекты 2 и 6 получили одинаковую сумму баллов, то их считают эквивалентными и объединяют в одну группу (при записи используют скобки). Таки образом, в терминологии математической статистики это ранжирование имеет одну связь.

Рассмотрим метод медиан рангов. Он заключается в нахождении медиан для выборки рангов для каждого фактора. Медиана – это варианта, которая разделяет ранжированный ряд на две равные по численности части. Для дискретного ряда (которым является ряд рангов) она определяется как среднее арифметическое двух центральных вариант.

Если рассматривается вариационный ряд х₁, х₂,…, х_n с парным числом членов, то есть n = 2m, где n –число членов в выборке, то медиану определяют по формуле

(6.6)

Для вариационного ряда с непарным числом вариант, то есть n = 2m-1, медиана равняется

(6.7)

Для нашего примера выпишем ранги экспертов, отвечающие проекту 1:

5,5,1,6,8,5,6,5,6,5,7,1

Расположим их в порядке возрастания:

1,1,5,5,5,5,5,6,6,6,7,8

Это вариационный ряд с парным числом членов: n =12 = 2m, то есть m=6, поэтому

То есть для фактора номер 1 медианный ранг равняется 5. Аналогично определяются медианы остальных факторов. Далее определяют итоговые ранги факторов в соответствии с найденными величинами медиан рангов (см. табл. 6.7)

Таблица 6.7 – Результаты ранжирования по методу медиан рангов

Факторы
Медианы рангов				2,25	7,5
Итоговый ранг по медианам		2,5	2,5
Для сравнения итоговый ранг по средней арифм.		3,5				3,5

Таким образом, окончательное упорядочение проектов по методу медиан имеет вид:

5,8,7,1,6, (2,3), 4

Ранжирование имеет одну связь.

Сравним результаты оценок по двум методам. Можно принять, что проекты два, три и шесть упорядочены, как 6,2,3, но из-за ошибок экспертных оценок в одном методе равноценными признаны проекты 2 и 6, а в другом 2 и 3. Существенным является только расхождение в порядке упорядочения проектов 5 и 8. Поэтому экспертная комиссия в своих выводах может рекомендовать в дальнейшем исключить из рассмотрения наименее привлекательные проекты под номерами 2,3,4 и 6 и сконцентрироваться на проектах под номерами 5 и 8. Данный пример демонстрирует подобие и расхождения ранжирований, полученных по двум методам, а также пользу от их совместного применения.

Следует также отметить, что такие расхождения обычно возникают при малом числе экспертов. Также, если мнения экспертов близки, то оценки по обоим методам совпадают.

Коеффициент конкордации.

После определения итогового мнения комиссии экспертов необходимо определить степень согласованности мнений m экспертов. Для этого используют коэффициент конкордации Кендалла:

(6.8)

где m – число экспертов,

n - количество факторов,

- сумма рангов фактора под номером i.

Если в ранжировании есть связанные ранги, то коэффициент конкордации определяется по формуле (6.9)

(6.9)

где

(6.10)

где – показатель связанных рангов в ранжировании j -го эксперта,

H_j - число групп одинаковых рангов в ранжировании j -го эксперта,

t_k - число одинаковых рангов в k -ой группе связанных рангов при ранжировании j -м экспертом.

Если одинаковых рангов нет, тогда H_j =0 и t_k =0, и формула (6.10) совпадает с формулой (6.8).

Данный коэффициент изменяется в диапазоне от 0 до 1, причем, если он равен 0 наблюдается полная несогласованность, при равенстве 1 – полное единодушие мнений экспертов.

С помощью этого коэффициента можно оценивать связи как между качественными, так и количественными признаками, которые поддаются ранжированию. Коэффициент конкордации Кендалла является многомерным аналогом коэффициента ранговой корреляции Спирмена. При m=2 (количество экспертов равняется двум) они пропорциональны:

но это соотношение верно только в случае отсутствия одинаковых рангов. Для качественной оценки степени согласованности мнений экспертов по величине коэффициента конкордации можно использовать оценки характеристики силы связи, представленные в таблице 6.2.

Для проверки значимости коэффициента конкордации при заданном уровне значимости рассчитывают фактическое и определяют критическое, где k – число степеней свободы (k=n-1) (по таблице критических точек Пирсона – приложение 1):

- если расчетное (фактическое) значение критерия больше критического, то ранговую связь между мнениями m экспертов считают значимой, коэффициенту конкордации можно доверять и полученные на его основе выводы справедливы;

- если расчетное (фактическое) значение критерия меньше критического, то принимают гипотезу про отсутствие ранговой корреляционной связи между мнениями всех экспертов.

Рассмотрим расчет коэффициента конкордации по данным вышеприведенного примера. Напомним, что m=12, n=8, тогда среднее значение суммы рангов (из формул (6.8) и (6.9)) равняется

По результатам предварительных расчетов имеем уже рассчитанные суммы рангов по каждому фактору (см. табл. 6.6):

Факторы	1	2	3	4	5	6	7	8	Сумма
Сумма рангов	60	39	37,5	31,5	76	39	64	85	432

Поскольку в ранжировании четвертого эксперта есть одинаковые ранги – третий и четвертый факторы имеют ранг 2,5 – то для расчета коэффициента конкордации используем формулы (6.9) и (6.10). В соответствии с формулой (6.10) поправка на одинаковые ранги составляет .

Коэффициент конкордации равняется:

Значение коэффициента конкордации свидетельствует о средней степени согласованности мнений экспертов, составляющих комиссию. Определим фактическое и критическое значение критерия:

Так как фактическое значение больше критического, то можно считать коэффициент конкордации статистически значимым и признать мнения экспертов согласованными, то есть доверять полученным выводам экспертной комиссии.

При использовании групповой экспертной оценки можно не только выяснять мнение экспертов о факторах, возможно также определить наиболее объективного эксперта. Для этого необходимо сравнить ранги каждого эксперта с итоговыми рангами, рассчитанными по средней арифметической или по медианам.

Для нашего примера по таблице рангов 6.5 и таблице результатов расчета рангов 6.7 можно получить следующий вывод: наиболее объективным следует признать десятого эксперта, а третий и пятый эксперты показали наименьшее подобие своих мнений окончательным итоговым результатам.