УПРАЖНЕНИЕ. Следующая теорема дает способ вычисления услов­ной вероятности.

12. Из 36 карт выбирают одну. Событие А состоит в том, что выбрана карта красной масти, событие В — выбрана дама. Найти вероятности Р(А), Р(В), Р(А/В), Р(В/А).

Следующая теорема дает способ вычисления услов­ной вероятности.

Теорема 3.

(4)

Доказательство. Напомним, что произведение АВ означает, что произошли оба события, А и Б. Пусть испытание, в котором могут появиться события А и В, имеет п исходов. Число исходов, благоприятных событиям В и АВ, обозначим, как и выше, через т(В) и т (АВ) соответственно. Найдем вероятность события А при условии, что произошло событие В, т.е. Р(А/В). По смыслу определения условной вероятности Р(А/В) мы учитываем только те исходы, в которых произошло событие В, поэтому число всех возможных исходов при вычислении этой вероятности будет т(В). Число же исходов, благоприятных в этой ситуации событию А, будет т (АВ). Поэтому

Теорема доказана.

Из формулы (4) вытекает следствие:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(В)Р(А/В), Р(АВ) = Р(А)Р(В/А). (5)

Задача. Из колоды карт выбирают две. Какова вероятность того, что будут вынуты 2 туза?

Решение. Пусть событие В состоит в том, что первая карта туз, а событие А — вторая карта туз. Нужно найти вероятность произведения АВ. По формуле (5)

Р(АВ) = Р(В)Р(А/В) = • = .

Методом математической индукции формулу (5) можно распространить на любое число событий. Например, для трех событий аналогичная формула выглядит следующим образом:

Р(АВС) = Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ), (6)

а для четырех событий она имеет вид:

P(ABCD) = P(A)P(B/A)P(C/AB)P(D/ABC). (7)

Задача. Из одиннадцати карточек составлено слово

Из них выбирают поочередно четыре карточки и приставляют одну к другой. 'Какова вероятность того, что получится слово «дело»?

Решение. Введем события Д, Е, Л, О, состоящие в том, что первая выбранная буква — Д, вторая — Е, третья — Л и четвертая — О. Нам нужно найти вероятность произведения этих событий. По формуле (7) имеем:

Р(ДЕЛО) = Р(Д)•Р(Е/Д)•Р(Л/ДЕ)•Р(О/ДЕЛ) = • • • =