Действия со степенями

По определению

a⁰ = 1,

Из этого определения следует, что для любых натуральных чисел m и n справедливы следующие формулы:

а^та^п = а^т+п, (аⁿ)^т = а^тп, а^пb^п = (ab)ⁿ.

Число, которое при возведении в степень n дает а, называется корнем степени n из а. Если число п нечетное, то существует только один корень степени п из числа а, который обозначается или . Если п четное, а число а — положительное, то корней будет два. Например, числа 3 и -3 будут корнями четвертой степени из 81, т.к. 3⁴ = 81 и (-3)⁴ = 81. Положительный корень называется арифметическим и именно он обозначается символом или .

Степень с дробным показателем определяется так:

Оказывается, что имеют смысл и выражения вида а^х, где х — любое действительное число, например . Действия с такими степенями производятся по тем же правилам, что и с натуральными степенями, например, .

При различных вычислениях большие числа удобно записывать в так называемой стандартной форме, т.е. в виде произведения двух множителей, первый из которых заключен между числами 1 и 10, а второй представляет собой степень десятки: 243507 = 2,43507 • 10⁵, 0,184 = 1,84 • 10^n-1 и т.д. Стандартную форму используют при работе с калькулятором, в особенности тогда, когда не хватает разрядов для точных вычислений. Например,

243507 • 1385462 = 2,43507 • 10⁵ • 1,385462 • 10⁶ = (2,43507 • 1,385462) • 10¹¹»

» 3,37369695 • 10¹¹;

3¹⁷ = 3¹⁶ •· 3 = (3⁴)⁴ • 3 = (81)⁴ • 3 = (6581)² • 3 = = 3 • (6,581 • 10³)² = 3 • (6,581)² • (103)²»

» 129,140163 • 10*.

ТИПОВЫЕЗАДАНИЯ

2. Вычислите, округляя в каждом действии результат до тысячных; окончательный результат округлите до сотых:

3. Найдите корни квадратного уравнения и округлите результат до сотых:

ПРОЦЕНТЫ

Одна сотая доля какого-либо количества называется процентом. Например, в городе N всего 300 судей, следовательно, 3 судьи — это 1%, 6 судей — 2% и т.д.

Подумайте, сколько тверских судей составляют 4% от их общего числа? (в Твери 145 судей.)

Другой пример. Некто утаил прибыль в размере 10 млн. руб. Какую сумму недополучила казна, если налог на прибыль составляет 22%?

Решение:

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

4. За год в области совершено 6720 преступлений. Из них тяжких — 33; в состоянии алкогольного опьянения — 3262; связанных с дорожно-транспортными происшествиями — 1310. После завершения следствия переданы в суд 4520 дел; по 3816 из них уже вынесены приговоры, причем половина из последних — обвинительные; из всех обвинительных приведены в исполнение 40%. Заполните до конца следующую таблицу:

Всего		100%
Тяжких
В состоянии алкогольного опьянения
Транспортных
Завершено
Всего приговоров
Обвинительных
Исполнено

В первом столбце проставьте соответствующие абсолютные значения, а во втором укажите, какой процент они составляют от общего числа преступлений.