Десятичные дроби и действительные числа

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, т.е. 10, 10² = 100, 10³ = 1000 и т.д., называются десятичными дробями. Записываются они особым образом:

; 1 ; 2

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде десятичной дроби приводит иногда к бесконечной десятичной дроби. Например, разделив «уголком», мы получим: •

=0,333...; =0,90909...;

Как видно, получающаяся бесконечная последовательность цифр содержит так называемый период — один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому полученные десятичные дроби называют бесконечными периодическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере.

Пример. Превратим в обыкновенные дроби числа q = 0,777... и р = 0,999...

Умножив на 10, получаем:

1) 10 q = 7,777... = 7 + q, откуда 9q = 7 и q = .

Проверьте результат, превратив 7/9 в десятичную дробь.

2)10 р = 9,999... = 9 + р, откуда 9р = 9 и р = 1. Заметим, что 1 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом 0: 1,000...; аналогично, 0,24 = = 0,24000..., 3,5 = 3,5000... и т.п.