Необходимое и достаточное условие существования экстремума для функции двух переменных

Необходимое: Если функция достигает экстремума в точке М₀(х₀,у₀), то все её первые частные производные в этой точке равны нулю или не существуют.

Достаточное: Пусть в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀) функция имеет непрерывные частные производные, равные нулю в этой точке, тогда, если , то М₀(х₀,у₀) – является экстремумом функции , причём, если , точка М₀ – минимум, если , точка М₀ – максимум.