Мы разложили вектор по координатным осям: rа

Последнее утверждение позволяет по каждой упорядоченной паре чисел (ах, ау) построить вектор, координатами которого в заданной системе прямоугольных координат хОу будут числа ах, ау. Для этого достаточно в этой системе координат построить точку А с координатами ах, ау и взять вектор r аОА. Его координатами и будут числа ах, ау.

В заданной системе координаты вектора определяются единственным образом.

1 Действительно, допустим, что вектор r а, кроме равенства (13) может быть представлен равенством

r а = ах*+ау* r i r j. (14)

Из равенств (3) и (4) следует, что ах r i r +ау r j = ах* r i+ау* r j, а потому

(ах - ах*) = (ау* - ау) r ij. (15)

Один и тот же вектор, стоящий в левой и правой частях равенства (15) коллинеарен одновременно и вектору r, и вектору i r j. Коллинеарным одновременно двум единичным взаимно перпендикулярным векторам может быть лишь нулевой вектор. Поэтому и слева, и справа в равенстве (15) стоит нулевой вектор, т.е. ах* =ах и ау* =ау. Единственность координатного представления вектора доказана.g

Проведенные рассуждения подытожим в виде следующей теоремы:

Теорема (о координатах вектора на плоскости). Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с единичными векторами r i и r j координатных осей х и у. Тогда любой вектор r а плоскости хОу может быть представлен в виде =ах+ау r а r i r j,

Как найти координатное разложение вектора r а = АВ, если известны координаты начала и конца этого вектора: А (хА, уА) и В (хВ, уВ) (рис.1.48)?

Рис.1.48

По определению координаты вектора равны коэффициентам при векторах r i и r j в равенстве (13). Так как

АВ = ОВ - ОА= хВ + уВ - ( хА r i r j r i + уА r j )= (хВ - хА)r i + (уВ - уА)r j,

то координата составляющей на оси х - число ах=хВ-хА., а координата составляющей на оси у - число ау=уВ-уА..

Итак, чтобы найти координаты вектора нужно от координат конца вектора отнять координаты начала вектора:

ах=хВ-хА, ау=уВ-уА. (17)

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

Рис. 12

Из свойств проекций: , , . Следовательно,

, , . (2.5)

Легко показать, что

1) ;

2) координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: .

§ 6. Деление отрезка в данном отношении

Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если , или (рис. 13).

Рис. 13

Пусть координаты точек и известны: , . Найдем координаты точки . Очевидно, что , где , . Приравнивая координаты векторов, найдем:

, , . (2.6)

В частности, если – середина отрезка , то , тогда

, , . (2.7)

Пример 4. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора (рис. 14).

Решение. AD – медиана, следовательно, D – середина
отрезка BC, ее координаты находятся по формулам (2.7):
, , , то есть . Медианы точкой пересечения K делятся в отношении 2:1, значит, , тогда по формулам (2.6) найдем координаты точки K: , , . Таким образом, точка пересечения медиан – . Найдем координаты вектора по формуле (2.3) и его длину по формуле (2.2): ; . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. По формулам (2.5) , , , следовательно, – орт вектора .

Рис. 14

Пример 5. Показать, что точки , , лежат на одной прямой, причем A – между B и C.

Решение. Рассмотрим векторы и (рис. 15). Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то векторы и должны быть кол-линеарны (условие 2.4). А если точка A лежит между B и C, то и должны быть сонаправлены (коэффициент пропорциональности координат ) и . Проверим выполнение этих условий.

, ; , следовательно,

. Координаты вектора больше, значит, он длиннее и точка A лежит между B и C.

8) Условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов.

tgφ₁=tgφ₂ или k₁=k₂

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1

k₁k₂=-1

Пример 6. Проверить, выполняется ли условие параллельности прямых 2х-3у+1=0 и 4х-6у-5=0?

Решение: Угловые коэффициенты этих прямых , т.е. условие параллельности выполнено.

Пример 7. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку (1;2) параллельно прямой 2х-3у+1=0.

Решение. Угловой коэффициент k прямой линии, для которой нужно составить уравнение, равен угловому коэффициенту данной прямой в силу условия параллельности этих прямых. Таким образом, получим искомое уравнение: или, умножая на 3: 3y-6=2(x-1), или 3y-6=2x-2, откуда окончательно находим: 2x-3y+4=0

Пример 8. При каком значении k уравнение y=kx+1 определяет прямую, перпендикулярную к прямой у=2х-1?

Решение: Угловой коэффициент второй прямой k₂=2. Условие перпендикулярности дает 2k=-1, откуда

Пример 9. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку (-1;1) перпендикулярно к прямой 3х-у+2=0.

Решение: Искомый угловой коэффициент обозначим через k₁, угловой коэффициент данной прямой k₂, как видно из ее уравнения, равен 3. Условие перпендикулярности k₁k₂=-1 нам дает: 3k₁=-1, откуда . Таким образом, искомое уравнение , или 3у-3=-х-1, и окончательно x+3y-2=