Еквівалентність означень

Нехай виконується означення 2, тобто для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність . Оберемо з області значень функції f(x) послідовність x₁, x₂,…,x_n–>a. За означенням границі послідовності це означає, що для всякого δ>0 існує N(δ), що з того що n>N слідує , а згідно нашого припущення, буде вірною і така нерівність , а це й означає, що

Нехай виконується означення 1, тобто для всякої послідовності x₁, x₂,…,x_n, що збігається до a, відповідна послідовність значень функції f(x₁), f(x₂),…, f(x_n) збіжна до A. Припустимо, що означення 2 не виконується, тоді існує таке , що . Виберемо такі δ₁, δ₂… що:

…………………………

Нехай , тоді , а оскільки виконується означення 1, то це означає, що , а це протирічить тому, що . Отже, наше припущення невірне.

Число A називається границею функції f(x) в точці x=a зліва (лівосторонньою), якщо для всякого існує таке δ₁, що з нерівності слідує нерівність .

Число A називається границею функції f(x) в точці x=a справа (правосторонньою), якщо для всякого існує таке δ₂, що з нерівності слідує нерівність .

Теорема. Критерій Коші. Для того щоб функція f(x) мала скінчену границю в точці а необхідно і достатньо щоб:

Визначні границі: ; .

1. Розглянемо послідовність 1…n, і покажемо,що вона строго зростає і обмежена зверху та має скінченну границю. Застосувавши формулу біному Ньютона,отримаємо

Із виразу,який знаходиться у правій частині рівності,видно,що при переході від n до n+1 число доданків у написаній сумі зростає на одиницю і кожен доданок,починаючи з третього,збільшується,так як стає більшим вираз, який стоїть в кожній круглій дужці,так як Це означає строге зростання послідовності Далі, оскільки

2. Доведемо,що Розглянемо в координатній площині коло радіуса R з центром в початку координат.Якщо OA=R, AOB=x, 0<x< \2, ,то площа , тобто звідси , або . В силу парності функцій і ця нерівність справедлива і для . Переходячи в цій рівності до границі при і маючи на увазі,що в силу неперервності функції cos x при x=0 має місце рівність .Отримаємо,що