Производная обратных функций (обратные тригонометрические функции). Вторая производная и производные высших порядков

Если функция обратима на интервале (а, в) и имеет отличную от нуля производную в точке х, то ее обратная функция дифференцируема в некоторой точке у:

Дана функция y=f(x), дифференцируемая на интервале (а, в), т.е. на этом интервале она имеет производную , являющуюся некото­рой функцией от х, которая называется производной первого порядка или первой производной. Предположим, что эта функция также дифференци­руема на интервале (а, в). Тогда ее производная называется второй про­изводной от исходной функции или производной второго порядка. Полученная функция мо­жет вновь оказаться дифференцируемой. Тогда ее производная называ­ется третьей производной или производной третьего порядка: . Определение: Производной п -го порядка функции y=f(x), если она существует, называется производная от производной (n-1)- гoпорядка:

Схема исследования функции посредством производной и построение графика.

Определение. Числовая функция y=f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве ее области определения, если большему зна­чению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

1. Определить область определения функции.

2. Проверить является функция четной или нечетной.

Функция называется четной, если для любого из области определения функции.

Функция называется нечетной, если

3. Исследовать функцию на периодичность.

Функция называется периодичной, если существует такое число , что для любого из области определения функции выполняется равенство .

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.

Функция непрерывна, если приращение функции стремится к нулю, при , то есть если , то функция непрерывна.

Точки, в которых не существует или равен , называются точками разрыва.

5. Найти критические точки 1 рода.

Для этого определить производную функции и приравнять ее к нулю

(). Критическими называются точки, в которых или не существует.

6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

Для этого методом пробных точек в каждом интервале определяют знак .

Если , то функция на этом интервале возрастает, если , то убывает.

Точка, при переходе через которую меняется знак производной , называется экстремумом.

Если меняет знак с «+» на «-» это максимум, если с «-» на «+» точка называется минимумом.

7. Найти критические точки 2 рода.

Для этого определить вторую производную и приравнять ее к нулю

().

Критическими точками называются точки, в которых или не существует.

8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого методом пробных точек определяют знак в каждом интервале, образованном критическими точками 2 рода.

Если , то график обращен выпуклостью вверх. Если , то график обращен выпуклостью вниз.

Точка, где меняет знак, называется точкой перегиба.

9. Найти асимптоты графика функции.

Прямая называется наклонной асимптотой. Ее коэффициенты рассчитываются по формулам: , .

Прямая называется вертикальной асимптотой, если предел слева или предел справа .

10. Найти точки пересечения графика с осями координат.

11. Построить график функции.

Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования.

Определение: Дифференцируемая функция F(x), определенная на некотором промежутке х называется первообразной для функции f (x) определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F`(x) = f (x).

Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке х, то функция F(x) + C, где С - произвольная постоянная, также является первообразной для функции f (x) на том же промежутке.

Совокупность всех первообразных для функции f (x), определенной на некотором промежутке х, называется неопределенным интегралом от функции f (x) на этом промежутке и обозначается: