Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке если для любого найдется такое, что при всех х, удовле­творяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

Или Функция y = f(x) называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности точки , существует предел функции при и он равен значению функции в этой точке: Функция y=f(x) называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Исходя из определений и свойств предела и непрерывности функции, можно доказать непрерывность основных элементарных функций.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы в этой точке.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода, т.е. хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен .

Производная функций одной переменной. Производная сложной функции.

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует, и обозначается . Итак

Теорема 1: Если функция дифференцируема в некоторой точке х, а функция определена на множестве значений функции и дифференцируема в точке , то сложная функция в данной точке х имеет производную, которая находится по формуле: