Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции

Обозначим A=(d²f/dx²)(x₀;y₀); B=(d²f/dxy)(x₀;y₀); C=(d²f/dy²) (x₀;y₀).

D= AC-B²

Если D > 0, A > 0, то (x₀;y₀) - точка минимума.

Если D > 0, A < 0, то (x₀;y₀) - точка максимума.

Если D < 0, экстремума в точке(x₀;y₀) нет.

Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.

30. Свойства неопределённых интегралов.

1- Пусть функция F непрерывна на промежутке ∆ и дифференцируема в его внутренних точках, тогда ∫dF(x)=F(x)+ C.

(∆- конечный или бесконечный промежуток, на котором рассматриваем функцию).

Справедливость этого равенства из определения неопределённого интеграла как совокупности всех функций, непрерывных на данном промежутке ∆, дифференциал которых (во внутренних точках х принадлежит ∆)стоит под знаком интеграла (∫)и общего вида (Ф(х)= F(x)+ C; х принадлежит ∆) всех первообразных данного вида.

2- Пусть функция f имеет первообразную на промежутке ∆; тогда всякой внутренней точки промежутка ∆ имеет место равенство: d∫f(x)=f(x)dx. Под интегралом ∫f(x)dx понимается любая первообразная F функции f.

3-Если функции f₁ и f₂ на ∆, то и функция f₁ + f₂ также имеет первообразную на ∆, причём ∫[f₁(x)+f₂(x)]dx=∫f₁(x)dx+ ∫f₂(x)dx. Это свойство аддитивности интеграла относительно функции.

4-Если функция имеет первообразную на промежутке ∆ и k -число, то функция k f также имеет на ∆ первообразную, причём при k ≠ 0 справедливо равенство ∫ k f(x)dx= k ∫f(x)dx.

Док-во: пусть ∫F(x)dх =F(x)+ C, т.е. F- непрерывна на ∆ и во внутренних точках х промежутка ∆ выполняется условие F(x) = f(x), тогда функция k F также непрерывна на этом промежутке и в его внутренних точках х имеет место равенство [ k f(х)]’ = k F’(x) = k f(x). Это означает, что функция k F является первообразной для k f, а поэтому ∫ k f(x)dx = k F(x)+ С.