Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности вращения

Полярные координаты.

Площадь поверхности вращения

Предположим, что в пространстве фиксирована прямоугольная декартова система координат. Пусть - кривая, лежащая в полуплоскости у>0 плоскости переменных x, y, разбиение отрезка [a,b]. Впишем в кривую γ ломанную с вершинами в точках i=0,1,2,…,k. При вращении звена этой ломаной вокруг оси Ох получится поверхность усеченного конуса (в частности быть может, цилиндра) с площадью а при вращении всей ломаной поверхность с площадью . Определение 1. Если существует предел то он называется площадью L поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Ох. Таким образом

L= . Теорема. Пусть - непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек, лежащая в полуплоскости y>0 плоскости переменных х, у. тогда для площади L поверхности, полученной вращением кривой γ вокруг оси х-ов, справедлива формула , где s - переменная длина дуги кривой γ, 0≤s≤S. Док-во: при сделанных в теореме предположениях функция s=s(t), a≤t≤b, является допустимым преобразованием параметра, и, следовательно, длина дуги s может быть принята за параметр: пусть разбиение отрезка [0,S], сравним сумму с интегральной суммой (функции 2Пу(s)) для этого что функция y(s) будучи непрерывной на отрезке [0,S] ограничена на нем, т.е. существует такая постоянная М>0, что для всех выполняется неравенство |y(s)≤M. Обозначая через w(δ;y) модуль непрерывности функции y(s) а через λᵻ - длину ломаной с вершинами в точках.

20. Интегрирование рациональных функций. R(x)=

1.Выделяем целую часть, если R(x) неправильная.

2.Разложение знаменателя на простейшие дроби. Q(x)=(x-a)²……. +Гх+S) .

3.Разлжение рац.дробей на сумму простейших дробей. +…+

4.Вычислить интеграл от простейших рациональных дробей.

а) ; в) c) d) ; e) ; f) .

21. Основная формула интегрального исчисления.

Любые две первообразные функции f(x) на сегменте [a,b] отличаются лишь на константу, согласно теореме о том, что любая непрерывная на интервале (а,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция F(x)= + С, где с-любая фиксированная точка интеграла (а,b).

Полагая в последней формуле с начала х=а, а затем х =b, и используя свойство определённых интегралов, найдём . Из этих равенств вытекает равенство: Ф(b)-Ф(а).-называемое основной формулой интегрального исчисления.(формула Ньютона-Лейбница). Для вычисления определённого интеграла от непрерывной функции f(x) нужно составить разность значений произвольной её первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Основную формулу интегрального исчисления записывают так: Ф(х) .