Свойства сходящихся последовательностей

Последовательность { x_n } называется ограниченной снизу (сверху), если существует такое число C, что все члены последовательности удовлетворяют условию x_n ≥ C (x_n ≤ C). Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченной.

Рисунок 1.1.2.1. Последовательность называют ограниченной, если C 1 ≤ xn ≤ C 2.

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все ее значения лежат на некотором отрезке.

Можно показать, что если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Заметим, что не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Примером расходящейся ограниченной последовательности может служить последовательность { x_n }: x_n = (–1) ⁿ.