БИЛЕТ № 29

1) Предположим, что вся экономика состоит из n отраслей, каждая из которых производит свой вид продукции. Введем следующие обозначения: X_i - это общий объём продукции (валовый выпуск) i-й отрасли; C_i- потребление выпуска отрасли в непроизводственной сфере; A_ij- доля выпуска i-й отрасли потребляемая j-й отраслью.

Из условия рыночного равновесия следует, что спрос на продукцию отрасли должен равняться предложению отрасли.

Перейдём к векторно-матричным обозначениям. Пусть

Тогда условие равновесия примет вид: X = AX + C

Данную систему уравнений называют системой уравнений Леонтьева (моделью экономики Леонтьева). А формально модель экономики Леонтьева должна иметь следующий вид: X = AX + C, X≥0, C≥0, A≥0

Баланс трудовых ресурсов будет иметь вид:

L_n = b¹_n X¹_n + b²_n X²_n + … + bⁿ_n Xⁿ_n, где bⁱ₀– норма трудоемкости i-й отрасли в отчетном году;

Lⁱ_o– затраты труда i-й отрасли в отчетном году; Xⁱ_o– ВП i-й отрасли в отчетном году

2) По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл типа равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина, и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем следующие формулы — для метода трапеций:

для метода средних прямоугольников:

,

.

Метод Симпсон базируется на замене подынтегральной функции квадратичной параболой, которая строится уже не по 2-м, а по 3-м точкам на каждом участке. По этим 3-м точкам строится интерполяционная функция – полином 2-го порядка. Получается следующая формула:

,

.

3) - поведение системы по отношению к пользователю должно быть гибким, так чтобы пользователь не был вынужден действовать строго предписанным образом

- система должна быть способна различать пользователей и приспосабливаться к ним

- поведение системы и результаты должны быть ясны пользователю

- система должна всегда быть готова помочь пользователю

- взаимодействие человека с системой должна напоминать по возможности человеческое общение

- система должна учитывать психофизиологические особенности человека

- не должны требоваться специальные знания

- система должна вести себя логично

- способностью человека к обучению злоупотреблять не стоит

- система должна реагировать на нарушения взаимодействия, вызванные ошибками в поведении пользователя

- работа с системой должна быть как можно проще и не отвлекать пользователя от его основной задачи

4) Потоками в сети называется множество чисел W_ij на дугах , если выполнены условия:

Величина потока в сети определяется вытеканием потока такой величины из истока и притока его в сток.

Разрезом сети (рис.5.1) называется множество дуг таких, что , а и обозначается . Разрез всегда отделяет от .

Величиной разреза называется величина ,

где суммирование ведется по дугам и .

Задача о максимальном потоке и минимальном разрезе решается с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона (в сущности, это и есть симплекс-метод, примененный в конкретной ситуации). Найдем сначала хоть какой-то поток ненулевого веса (нужно найти путь из истока в сток, желательно, с максимальным весом). После этого на каждом шаге алгоритма смотрим, можем ли мы модифицировать наш поток так, чтобы его вес стал больше. Если так модифицировать нельзя, то мы нашли максимальный поток. Модификация заключается в следующем. Попытаемся "прибавить" к нашему потоку новый. Для этого рассмотрим новый граф с теми же вершинами, но новыми пропускными способностями ребер. Если пропускная способность ребра от вершины A к вершине B равна C, а в нашем потоке по этому ребру пущено X, то в новом графе есть ребро от A к B с пропускной способностью C-X и ребро от B к A с пропускной способностью X (грубо говоря, мы можем увеличить поток по этому ребру максимум на C-X или уменьшить максимум на X).

После этого в новом графе ищем какой-нибудь поток из истока в сток ненулевого веса. Если такого нет, то тот поток, который у нас был - максимальный. Если есть - складываем эти два потока, получаем новый, с большим весом. Повторяем процесс.

Максимальный поток между вершинами равен величине минимального разреза.