Игровые модели. Классификация игровых моделей

Теория игр - теория, которая изучает методы определения оптимальных стратегий управления поведением в системах, для которых характерно наличие конфликтных ситуаций.

Теория игр связана в основном с математическим моделированием социально-экономических процессов и ориентирована на социально- экономические приложения.

В этих процессах участвуют люди, а также так или иначе сформированные группы, коллективы людей, наделенные теми или иными интересами.

Игровую модель можно определить, как совокупность (x,y) правил поведения при конфликтной ситуации и функции платежа Н(x,y) для каждого игрока на любом этапе игры.

Дадим однозначное толкование каждому из этих терминов на языке теории множеств.

Принятие решений (или стратегия игрока - совокупность рекомендаций по ведению игры от начала и до конца): Принятие субъектом К некоторого своего решения можно понимать просто как выбор некоторого элемента(решения) x_k из множества всех допустимых решений g_k.

Конфликты: Содержательно конфликт рассматривается как явление, в котором решаются вопросы о том, кто и как в этом явлении участвует, какие у этого явления могут быть исходы, а также кто и как в этих исходах заинтересован. Во- первых необходимо фиксировать, что в конфликте участвуют те или иные стороны, являющиеся принимающими решения субъектами. Эти стороны естественно называть коалициями действия. Здесь термин коалиция употреблен для подчеркивания возможной сложности, структурности принимающего решения субъекта. В его роли может выступать целый коллектив, причем коллективы, составляющие различные коалиции действия, могут, вообще говоря, пересекаться. Заметим, что в конфликте может участвовать и лишь одна коалиция действия, причем этот случай с теоретико-правовой точки зрения оказывается отнюдь не тривиальным. Множество всех коалиций действия будет обозначаться через W_{¶ .} Во -вторых, необходимо отразить возможности участников конфликта, т.е указать, какие именно решения может принимать каждая из коалиций действия КÎW_{¶ .} Эти решения называются (коалиционными) стратегиями коалиции К. Множество всех стратегий коалиции действия К будем обозначать через g_к. Исход конфликта определяется исходя из осуществимости результатов выбора всеми коалициями действия своих стратегий с учетом всех обусловленных между ними связей (если таковые предусмотрены) и называются ситуацией. Т.о., множество всех ситуаций можно понимать как некоторое заданное подмножество g декартова произведения (пары стратегий). В-третьих, необходимо указать стороны, отстаивающие некоторые интересы. Их естественно называть коалициями интересов. Множество таких коалиций интересов конструируемого конфликта будем обозначать через W_u.

В-четвертых, необходимо описать сами интересы (цели) сторон. Это значит, что для каждой коалиции интересов из W_u и на множестве всех ситуаций g должно быть указано бинарное отношение предпочтения R_k, понимаемое как отношение нестрогого предпочтения. Как обычно отношение нестрогого предпочтения порождает отношение безразличия I_k=R_kÇR_k^-1, а также отношение строгого предпочтения P_k=R_k\I_k (=R_k\R_k^-1).

На основе сказанного формальным представлением о конфликте можно считать систему

Г=<W_¶, >, где

W_¶, и W_u произвольные множества

и R_k Ì g´g, K Î W_u

Системы такого вида будем называть играми.

В наиболее чистом виде сущность теории игр, как теории математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликтов, воплощается в теории бескоалиционных игр, в которых множества коалиций действия и коалиций интересов совпадают; те и другие в этом случае называются игроками.

В свою очередь в классе бескоалиционных игр присутствуют свои подклассы. Рассмотрим некоторые важные подклассы бескоалиционных игр.

Бескоалиционная игра Г называется конечной, если конечны все множества стратегий g_i игроков iÎI. Конечные игры составляют простейший, но важный класс игр.

Конечная бескоалиционная игра называется биматричной, если множество I в ней состоит из двух игроков (т.е. I={1,2}). Такое название объясняется возможностью следующего естественного описания игр этого класса. Если составить две таблицы, в которых входы по строкам будут соответствовать стратегиям игрока 1, а входы по столбцам - стратегиям игрока 2, то в этих таблицах клетки будут соответствовать ситуациям игры. Если заполнить клетки первой таблицы значениями функции выигрыша игрока 1, а клетки второй таблицы - значениями функции выигрыша игрока 2, то получим пару матриц, полностью описывающих игру. Эти матрицы называются матрицами выигрышей в биматричной игре.

Биматричная игра с m´n - матрицами выигрышей игроков называется m´n - биматричной. Биматричную игру с матрицами выигрышей А и В будем обозначать через Г(А,В) или Г_А,В, i - я строка любой матрицы обозначается через М_i., j - ый столбец - М_.j.

Бескоалиционная игра Г называется игрой с постоянной суммой, если для каждой ее ситуации xÎg будет выполняться условие

, где H_i - функция выигрыша или платежа.

Игра Г называется игрой с нулевой суммой, если константа с =0 (модель в которой стороны ведут расчеты только между собой и платежи не поступают со стороны и не уходят на сторону).

Бескоалиционная игра с нулевой суммой, в которой имеется только два игрока (первый игрок выбирает стратегию в множестве Х, второй - в множестве Y, при этом каждый не знает, что выбирает другой) I={1,2} называется антагонистической. Цель первого игрока: Н ® max, цель второго игрока: Н ® min. Таким образом, в любой антагонистической игре выигрыш одного из игроков численно равен проигрышу другого: H₁(x₁,x₂)=-H₂(x₁,x₂). Цена игры определяется, как суммарный платеж каждому игроку.