Математическое ожидание приближенно равно среднему значению СВ

Прежде чем рассмотреть свойства математического ожидания, введем еще несколько понятий: независимые СВ, произведение независимых СВ, сумма СВ.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Произведением независимых случайных величин и называют случайную величину , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение . Вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.

Суммой случайных величин и называют случайную величину , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения с каждым возможным значением . Вероятности возможных значений для независимых величин и равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

. (1.3)

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ X и квадратом ее математического ожидания:

.

Средним квадратическим отклонением СВ X называют квадратный корень из дисперсии:

. (1.5)

Дадим определение еще одной числовой характеристики, как мода ДСВ.

. Модой M _oДСВ X называется ее наиболее вероятное значение.

12.Законы распределения ДСВ: биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение.

1. Биномиальное распределение

Пусть имеется испытаний Бернулли с вероятностью успеха и неуспеха , . Дискретная СВ X – число успехов имеет распределение

Это распределение называется биномиальным с параметрами p и q.

Математическое ожидание и дисперсия СВ X:

, .

2. Геометрическое распределение

Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения (счетное множество значений) с вероятностью

где ,

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число Бернулли до первого успеха.

Математическое ожидание и дисперсия :

.

3. Гипергеометрическое распределение

Дискретная СВ X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения с вероятностями

где ; . Вероятность является вероятностью выбора объектов, обладающих заданным свойством, из множества n объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности объектов, среди которых объектов обладают заданным свойством.

Математическое ожидание и дисперсия СВ, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами , , :

.

13. Непрерывная случайная величина (НСВ). Интегральная функция распределения. Формула вычисления вероятности того, что НСВ попадает в интервал .

Дискретная СВ задается перечнем всех своих возможных значений и их вероятностей. Такой закон распределения ДСВ чаще всего бывает представлен в виде таблицы. Но этот способ не является общим. Он не применим, например, для непрерывной случайной величины, возможные значения которой заполняют некоторый промежуток.

Чтобы задать закон распределения непрерывной СВ вводят интегральную функцию распределения.

Определение 2.1. Интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , т.е.

. (2.1)

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки .

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция распределения непрерывно дифференцируемая.

Рассмотрим свойства интегральной функции распределения непрерывной СВ, которые примем без доказательства.

Свойство 1. Значения интегральной функции принадлежит отрезку [0; 1], т.е.

.

Свойство 2. – неубывающая функция, т.е.

.

Свойство 3. Функция распределения непрерывна слева, т.е.

.

Свойство 4. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси , то справедливы следующие предельные соотношения:

.

Из свойства 2 вытекают два следствия, которые примем без доказательства.

Следствие 2.1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению интегральной функции на этом интервале:

.