Примеры решения типовых задач. 1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки

1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки

А(1;2;3); В(0;-1;1); С(2;5;2); D(3;0;-2).

Решение:

. Найдем координаты векторов :

;

;

.

.

=4.

Ответ: 4.

2. Доказать, что векторы =2 , и компланарны.

Доказательство:

,следовательно, компланарны.

3. Проверить, лежат ли точки А(2;-1;-2), В(1;2;1), С(2;3;0), D(5;0;6) в одной плоскости.

Решение:

Для того чтобы доказать, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, нужно доказать, что векторы компланарны. Найдем координаты векторов :

{1-2;2-(-1);1-(-2)}={-1;3;3};

{2-2;3-(-1);0-(-2)}={0;4;2};

{5-2;0-(-1);6-(-2)}={3;1;8}.

Проверим компланарность векторов :

, следовательно, векторы не компланарны, таким образом, точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

4. Даны координаты вершин пирамиды А(1;2;-3), В(1;0;-1), С(2;4; -6), D(0;-1;3). Найти а) V_АВСD; б) S_∆АВС; в) ; г) .

Решение:

а)V_АВСD= . Найдем координаты векторов :

{1-1;0-2;-1(-3)}={0;-2;-2};

{2-1;4-2;-6-(-3)}={1;2;-3};

{0-1;-1-2;3-(-3)}={-1;-3;6}.

Найдем смешанное произведение :

=2(6-3)=2(-3+2)=6-2=4.

Итак, V_АВСD= (куб.ед.).

б) S_∆АВС= . Найдем векторное произведение векторов :

.

.

S_∆АВС= (кв.ед.)

в) .

Найдем скалярное произведение векторов :

=0∙1+(-2)2+2(-2)=0-4-6=-10.

Найдем длину | |= .

Итак, .

г) .Найдем скалярное произведение :

=1(-1)+2(-3)+(-3)6=-1-6-18=-25.

Найдем длину :

| |= . Значит, .

Ответ: а) 2/3 куб.ед.; б) кв.ед. в) ; г) .