Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно та умовно збіжні ряди

О. Ряд вигляду наз знакозм.

Т. (озн Лейбніца) Якщо ряд - знакозм і в ньому , члени по модулю не зрост, тобто , то такий ряд зб.

Д. Розгл для знакозм ряду част суми . Наступний член цієї послід буде . Якщо врахув, що , то . Тоді , тобто . Пок, що посл обм зверху . Отже, , тоді - обм зверху. Ми довели, що послід частинних сум з парними номерами , обм зв (Т. Веєрштрс). - зб . Поговоримо про послід част сум з непарними номерами: , . , маємо, , (за вл границь послід) виход з зб ряду, знакозм ряд буде зб. - зб. Тр дов.

О. Ряд наз абсол зб, якщо ряд - зб.

О. Ряд наз умовно зб, якщо ряд - розб.

Т. Абсол зб ряд є зб, причому .

Т. Якщо ряд є абс зб до числа , то й ряд утв з нього шляхом перестановки членів також буде абс зб, причому до того ж самого числа .

Т. (Рімана) Якщо ряд зб умовно, то яке б не було дійсне число , члени цього ряду можна так переставити, щоб утворений ряд зб до .

Нех маємо числові ряди (1), (2). Ряд виду , де наз добутком рядів (1) і (2).

Т. Якщо ряди і абс зб до чисел і відповідно, то їх добутком за Коші також є абс зб числовим рядом, причому до числа .