Поняття площі плоскої фігури. Квадрові фігури.застосування означеного інтеграла

Будемо вважати що кожен многокутник має площу. Фігура що має площу-квадровна. Розглянемо всі вписані іописані многокутники . Кожний многокутник має площу маємо . . Множина обмежена з верху площиною тому вона має . нижня площа ф-ри 0. Оскільки за озн. є найменша зверху межа мн. , а - довілна верхня межа, то множина обмежена знизу числом , тому множ. і цей є . У випадку коли фігура наз. квад подібною. А число S- називають її площею.

Теор. Плоска фігура є квадровною т. і т.т., коли послідовність многокутників і і таких

що і і вони рівні між собою. При цьому спільне значення цих = площі фігури .

Теор. Якщо ф-я невід’ємна і неперервна на , то криволінійна трапеція, яка обмежена з верху грофікрм цієї ф-ї є квадровною. І площа її обчислюється за ф-лою: .

Дов. Утвор дов. подін розглянемо суми Дарбу для цього поділу оскільки ф-я неперервна на , то вона но цьому відрізку також неперервна. І за критерієм інтегровності (1).

Геометрично являє собою площу деякої східчастої фігури, яка є многокутною вписаної в трапецію . Аналогічно площа східчастої фігури, тобто многокутника описаного навколо . Рівність (1) тоді буде означати, що площ східчастої фігури вписаних і описаних навколо , вони= інтегр. (1). Виберемо послідовний поділ , так що , тоді отримаємо послідовність многокутників вписаних і описаних навколо , які відповідають інтегральним сумам . Значить існує послідовність многокутників і і таких що на підставі рівності (1) при .. тоді за критерієм квадровності це і означає, що криволінійна трапеція квадровна і її площа= інтегралу (1). Т.д.(теор. довед.)