Момент випадкових величин. Властивості і математичного очікування і дисперсії

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения.

Непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка

Функция случайной величины также является случайной величиной.

Если X и Y — случайные величины, а k — некоторая константа, то для математического ожидания могут быть выведены следующие свойства:

Е[Х+Y] = Е[Х]+Е[Y],

Е[kХ] =kЕ[Х],

Е[Х + k] =Е[Х]+k.

Для дисперсии же аналогичные свойства являются менее очевидными:

Var[Х+Y]=Vаг[Х]+Var[Y]+2 Cov[X,Y],

Var[кХ]=k2Vаг[Х],

Var[Х+k]=Vаг[Х],

Var[kX+nY]=k2Var[X]+n2Var[Y]+2knCov[X,Y].

Отметим, что в случае независимости случайных величин X и Y ковариация Соv[X, Y] равна нулю, и, следовательно,

Vаr[Х+Y]=Vаr[Х]+Vаr[Y].

В математической статистике определенную роль играет случайная величина, называемая выборочным средним (средним по выборке) Xi где I — размер выборки из вероятностного распределения. Выборочное среднее определяется отношением суммы всех значений выборки к ее размеру, т. е.

_i

X₁=1\i*∑x₁

¹

Предположив, что все Хi независимы и одинаково распределены (НОР), можно получить следующие свойства для математического ожидания и дисперсии Xi

_ _

E [x₁] = E [x₁]

_

Var [x₁] = Var [x]

Дисперсия среднего по выборке размером I в I раз меньше, чем дисперсия случайной величины, по которой взята выборка. Следовательно, выбрав I достаточно большим, можно уменьшить дисперсию среднего до любой малой величины. Отметим, что зависимости, приведенные выше для дисперсии XI справедливы только для случая независимых наблюдений Xi. Если наблюдения не являются независимыми, вычисление Vаr[Хi] требует принятия во внимание ковариации между ними. Например, в модели работы кассира в банке времена ожидания приходящих друг за другом посетителей будут коррелированны из-за наличия вероятности того, что (i+1) -й посетитель будет ждать дольше, если 1-й посетитель по прибытии в банк помещается в очередь, чем если 1-й посетитель сразу же обслуживается. Следовательно, дисперсия среднего времени ожидания не может быть оценена простым делением дисперсии времени ожидания на число наблюдений.