Антагоністичні ігри двох гравців з нульовою сумою. Матричні ігри. Нижня і верхня ціна гри. Сідлова крапка. Чисті і оптимальні стратегії і ціна гри за наявності сідлової крапки

Теорией игр называют теорию математических моделей принятия оптимальных решений в условиях соперников. Игровая ситуация естественно получается из модели исследования операции в предположении, что неконтролируемые факторы связаны с действиями других активных участников операции.

Основной класс стратегических игр составляют бескоалиционные игры, в которых множество игроков I совпадает с множествами коалиций и коалиций интересов. В такой игре отношение предпочтения всегда описывается функцией выигрыша, которую обозначим W_i, i ÎIт.е. бескоалиционную игру можно описать тройкой

Г={I,{M_i},iÎI,{W_i}, iÎI} 1.1

Если все множества стратегий конечны, то игра Г является конечной. Конечные бескоалиционные игры называются биматричными, если всего два игрока. Если же в биматричной игре (I={ I, II }), W_I(x) =- W_I (y) для всех критериев х,то игра Г называется антагонистической,или игрой с нулевой суммой, т.е.

Г={M₁,M₂, w} 1.2

где W - функция выигрыша первого игрока. Конечная антагонистическая игра называется матричной.

Антагонистической игрой (или игрой двух лиц с нулевой суммой) в нормальной форме называется совокупность

Г={X,Y,W(x,y)} 1.3

где Х- множество стратегий 1-го игрока,Y- множество стратегий 2-го игрока, а функция W(x,y) представляет собой выигрыш первого игрока в ситуации (х, у), т.е. когда первый игрок выбирает стратегию х j Х, а второй - стратегию у j Y. При этом выигрыш второго игрока равен- W(x, у). Стратегии х и у называются чистыми стратегиями игроков.

В антагонистической игре первый игрок стремится по возможности максимизировать функцию W(x, у), а второй игрок - минимизировать. Границы возможностей игроков определяются значениями нижней и верхней ценой игры. Нижней ценой игры в чистых стратегиях называется величина

a= maxminW(x,y) 2.1

хеХ yeY