Теорема Чебышева. Теорема. Если Х1, Х2, , Хn – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их ограничены (не превышают константы С)

Теорема. Если Х₁, Х₂, …, Х_n – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их ограничены (не превышают константы С), то, как бы мало ни было положительное число e, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. Другими словами,

. (1.7.2)

Доказательство. Введем в рассмотрение величину

,

равную среднему арифметическому случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n. Найдем М():

. (*)

Применим к величине неравенство Чебышева:

,

. (**)

Но

. (***)

Подставим правую часть (***) в (**) – неравенство только усилится:

.

Теперь перейдем к пределу при n®¥:

.

Если учесть, что вероятность не может быть больше единицы, получим

.

Теорема доказана.

Что же утверждает теорема Чебышева? Она говорит о том, что если рассматривать достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от его математического ожидания будет по абсолютной величине сколь угодно малым. Другими словами, среднее арифметическое значение достаточно большого числа независимых величин утрачивает характер случайной величины.

Теорема Чебышева имеет большое практическое значение.