Закон больших чисел. Теорема Ляпунова

В науке, технике, экономике и других областях деятельности человечество давно пользуется следующим принципом: если в некоторых условиях вероятность события очень мала, то при однократном испытании можно быть уверенным, что это событие не произойдет, и в практической деятельности поступать так, как будто оно является невозможным. При этом событие А, вероятность которого мала, считается невозможным, а событие , вероятность которого близка к единице, – достоверным.

Однако всегда возникает вопрос: а что такое малая вероятность? Или что такое вероятность, близкая к единице?

В теории вероятностей и в статистике имеется термин: уровень значимости. Уровнем значимости и называют вероятность, которой пренебрегают в данном исследовании. Например, в статистике обычно рекомендуется пользоваться уровнем значимости 0,05 при предварительных исследованиях и 0,001 при окончательных выводах. При этом достоверными считаются события, вероятность наступления которых не ниже 0,95 и 0,999 соответственно.

Таким образом, в практических исследованиях очень важно знать, в каких условиях можно гарантировать, что вероятность события окажется или очень малой или очень близкой к единице.

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд условий, в которых оказывается возможным оценить очень малые (или очень близкие к единице) вероятности. Чаще всего речь идет об отклонении случайной величины Х от своего математического ожидания М(Х) и для этого требуется, чтобы число испытаний n®¥.

Исторически первой формулировкой закона больших чисел можно считать теорему Бернулли. Методологически же ее гораздо проще доказать, опираясь на теорему Чебышева, которая в свою очередь опирается на неравенство Чебышева. Именно в таком порядке мы и рассмотрим эти вопросы.