Математическое ожидание дискретной случайной величины

Наиболее полной характеристикой случайной величины является ее закон распределения. Однако он не всегда известен и в этих случаях приходится довольствоваться меньшими сведениями. К таким сведениям могут относиться: диапазон изменения случайной величины, наибольшее (наименьшее) ее значение, некоторые другие характеристики, которые описывают случайную величину некоторым суммарным способом. Все эти величины называют числовыми характеристиками случайной величины. Обычно это некоторые неслучайные числа, так или иначе характеризующие случайную величину. Основное назначение числовых характеристик – в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности того или иного распределения.

Простейшей числовой характеристикой случайной величины Х называется ее математическое ожидание:

М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+x_np_n. (1.3.1)

Здесь х₁, х₂, …, х_n – возможные значения случайной величины Х, а р₁, р₂, …, р_n – их вероятности.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины, если известен ее закон распределения:

Х	2	3	5
Р	0,3	0,1	0,6

Решение. М(Х)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.

Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность этого события равна р.

Решение. Если Х – число появлений события А в одном испытании, то, очевидно, закон распределения Х имеет вид:

X	0	1
P	q=1–p	p

Тогда М(Х)=0×(1–р)+1×р=р.

Итак: математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно его вероятности.

Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла m₁ раз значение х₁, m₂ раз значение х₂, …, m_k раз значение х_k. Тогда сумма всех значений в n испытаниях равна:

х₁m₁+x₂m₂+…+x_km_k.

Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной:

или

.

Значения – относительные частоты появления значений х_i (i=1, …, k). Если n достаточно велико (n®¥), то эти частоты приблизительно равны вероятностям: . Но тогда

=x₁p₁+x₂p₂+…+x_kp_k=M(X).

Таким образом, математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. В этом состоит вероятностный смысл математического ожидания.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной.

Доказательство. Будем считать, что константа С – это дискретная случайная величина, принимаемая с вероятностью р=1.

Тогда

М(С)=С×1=С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

М(СХ)=С×М(Х).

Доказательство. Пусть закон распределения Х задан таблицей:

Х	х1	х2	…	xn
Р	р1	р2	…	pn

Тогда случайная величина СХ принимает значения Сх₁, Сх₂, …, Сх_n с теми же вероятностями, т.е. закон распределения СХ имеет вид:

СХ	Сх1	Сх2	…	Сxn
Р	р1	р2	…	pn

Поэтому

М(СХ)=Сх₁×р₁+Сх₂×р₂+…+Сх_n×p_n=

=С(х₁р₁+х₂р₂+…+х_np_n)=СМ(Х).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(XY)=M(X)×M(Y).

Это утверждение дается без доказательства (доказательство основано на определении математического ожидания).

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

В частности, для трех независимых случайных величин

М(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).

Пример. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Пусть Х_i – число очков на i -й кости. Это могут быть числа 1, 2, …, 6 с вероятностями . Тогда

М(Х_i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .

Пусть Х=Х₁×Х₂. Тогда

М(Х)=М(Х₁)×М(Х₂)= =12,25.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин (независимых или зависимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х+Y)=M(X)+M(Y).

Это свойство обобщается на случай произвольного количества слагаемых.

Пример. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁=0,4, р₂=0,3 и р₃=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Пусть Х_i – число попаданий при i -м выстреле. Тогда

М(Х_i)=1×p_i+0×(1–p_i)=p_i.

Таким образом,

M(X₁+X₂+X₃)= =0,4+0,3+0,6=1,3.