Интегральная теорема Лапласа. В предыдущих параграфах мы научились вычислять вероятность того, что в n независимых испытаниях событие произойдет m раз

В предыдущих параграфах мы научились вычислять вероятность того, что в n независимых испытаниях событие произойдет m раз. Однако чаще бывает так, что необходимо знать не вероятность наступления события какое-то определенное число раз, а вероятность того, что это число заключено в некоторых границах.

Например, пусть требуется найти вероятность того, что из 1000 новорожденных окажется от 450 до 550 мальчиков включительно. Очевидно, искомое событие состоит в том, что мальчиков окажется 450, или 451, или 452 и т.д. вплоть до 550. По теореме сложения вероятность такого события равна сумме вероятностей:

Р₁₀₀₀(450 £ m £ 550) = P₁₀₀₀(450) + P₁₀₀₀(451) +…+ P₁₀₀₀(550). (*)

Каждое слагаемое несложно вычислить по формуле Бернулли или по локальной теореме Муавра-Лапласа при известной вероятности рождения мальчика. Но вычисление 101 слагаемого, входящего в выражение (*) и их сложение – довольно длительная процедура, вряд ли удовлетворительная на практике. Поэтому возникает необходимость найти какой-то иной метод, который с помощью достаточно простых вычислений обеспечил бы достаточно точный результат. Ответ на этот вопрос дается так называемой интегральной теоремой Лапласа (дается без доказательства).

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_n(m₁,m₂) того, что событие А появится в n испытаниях от m₁ до m₂ раз, приблизительно равна определенному интегралу

(1.1.9.3)

где

При практическом решении задач с использованием формулы (1.1.9.3) пользуются специальными таблицами, т.к. интеграл через элементарные функции не выражается. Обычно в таблице даются значения так называемой функции Лапласа:

. (**)

При этом f(–х)= – f(х). Обычно таблицы приводятся для хÎ[0;5], т.к. при х>5 с высокой точностью f(х)» . Чтобы воспользоваться функцией Лапласа (**), выражение (1.1.9.3) надо преобразовать:

Итак,

P_n(m₁,m₂)=f(x'')–f(x'), (1.1.9.4)

где (1.1.9.5)

Пример. Найти вероятность того, что в серии из 1000 бросаний монеты число выпадения герба будет заключено в интервале от 475 до 525.

Решение. В этой задаче р= ; q= ; n=1000; np=500; npq=250; m₁=475, m₂=525.

Р₁₀₀₀(475; 525)=f(х'')–f(x')=f(1,58)–f(–1,58)=

=2f(1,58)=2×0,4429=0,8858.