I. Теория вероятностей

1.1. Случайные события

1.1.1. Предмет теории вероятностей

События в окружающем мире можно разделить на достоверные, невозможные и случайные. Первые при реализации комплекса условий опыта (эксперимента) осуществляются всегда, вторые – никогда, третьи могут как происходить, так и не происходить. К какой из этих групп отнести конкретное событие? Это зависит от условий опыта. Например, стрелок стреляет по мишени и мы рассматриваем событие: попадание в мишень. Необходимо обеспечить целый комплекс необходимых условий: чтобы был стрелок, была мишень, был пистолет (исправный и заряженный), расстояние до мишени было меньше длины полета пули и т.д. и т.п. Если какое-либо из необходимых условий не выполнено, то событие будет невозможным. Если же все необходимые условия обеспечены, то событие может оказаться достоверным (если стрелок уперся пистолетом в цель), или случайным (в зависимости от прицела и условий полета пули на трассе).

Понятие испытания (опыта, эксперимента) – одно из основных понятий теории вероятностей. Под этим понимается обеспечение всех необходимых условий для появления данного события. События обозначают заглавными буквами латинского алфавита

Случайные события занимают промежуточную позицию между «всегда» и «никогда» и могут в данном испытании происходить или не происходить. Связано это с тем, что достаточные условия для наступления события не всегда нам подконтрольны, а про некоторые из них мы даже и не догадываемся, что они собой представляют. Так, мы не контролируем порыв ветра или вспышку молнии, приведшие к промаху по мишени. В такой ситуации вывод о качестве стрельбы нельзя делать на основании единичного испытания, а необходимо иметь возможно большее их количество и анализировать все множество результатов, которое является более устойчивым, т.к. одна часть результатов имеет отклонение в одну сторону, другая – в другую и, усредняясь, они компенсируют друг друга, открывая дорогу закономерности.

Поэтому теория вероятностей как наука о числовой мере случайных событий изучает не единичные, а массовые случайные события.

1.1.2. Классификация событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в данном эксперименте. Например, выпадение при бросании игральной кости (кубика с цифрами или точками от 1 до 6) четного числа очков и числа очков, кратного 3, являются совместными (выпало 6 очков). Если в одном опыте два события не могут произойти, они называются несовместными. Например, при одном выстреле попадание в цель и промах – события несовместные.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Примеры.

1. Выпадения на верхней грани игральной кости 1 очка, 2 очков, 3, 4, 5, 6 очков – события равновозможные.

2. При бросании монеты имеются два равновозможных события: выпадение "герба" и выпадение "решки".

3. Рассмотрим следующий пример. Пусть в урне содержатся шесть одинаковых по размеру шаров, причем два из них красные, три – синие и один – белый. Шары тщательно перемешаны. Это так называемая урновая схема. Считается, что человек, вынимающий из урны шар, заглянуть в урну не может. По весу же, размеру шаров и по их шероховатости на ощупь отличить шары друг от друга невозможно. Поэтому налицо симметричная ситуация: любой шар имеет равную возможность быть извлеченным Совершенно очевидно, что возможность вынуть наудачу белый шар или цветной (красный или синий) неодинаковая: возможность вынуть цветной шар больше, чем возможность вынуть белый. Как охарактеризовать численно эти разные возможности? Сначала введем понятие элементарного события.

Элементарное событие (исход) – это каждый из возможных исходов эксперимента (опыта). В нашем случае их всего шесть. Обозначим элементарные события так:

А₁ – появился белый шар;

А₂, А₃ – появился красный шар (их два, поэтому и событий два);

А₄, А₅, А₆ – появился синий шар (их всего три).

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появляется хотя бы одно из них.

Очевидно, в нашем случае элементарные события А₁, А₂, …, А₆ равновозможны и образуют полную группу событий.

Теперь назовем событием А появление цветного шара, а событием В – появление белого шара. Те элементарные исходы, в которых наше событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Теперь ясно, что событие А происходит, если происходят события А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, а событие В происходит только в том случае, если происходит событие А₁.

1.1.3. Вычисление вероятности

1.1.3.1. Классическая вероятность

Будем считать, что имеется полная группа несовместных равновозможных событий. Вероятностью события называется отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев :

(1.1.3.1)

Эта формула называется классическим определением вероятности. Она пригодна тогда и только тогда, когда опыт сводится к полной группе несовместных и равновозможных событий.

Из определения (1.1.3.1) следуют основные свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1.

В этом случае m=n, Р(А)= =1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

В этом случае m=0, поэтому Р(А)= = =0.

3. Вероятность случайного события

0 < P(A) < 1, т.к. 0 < m < n.

4. Для любого события

0 £ P(A) £ 1.

Пример 1. При бросании монеты в силу симметрии несовместными равновозможными исходами являются два: выпадение герба и решки. Поэтому . Каждому из этих событий благоприятствует один случай, , так что вероятности появления и герба, и решки одинаковы: .

Пример 2. В урне находятся тщательно перемешанные шары двух цветов: 7 белых и 3 черных. Наудачу вынимается один шар. Какова вероятность, что этот шар: а) белый; б) черный?

Общее число несовместных исходов эксперимента . Обозначим: событие – извлечен белый шар; событие – извлечен черный шар. Тогда, очевидно, количества благоприятных исходов: , а соответствующие вероятности

Пример 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

а) на игральных костях в сумме окажется 10 очков;

б) на игральных костях в сумме окажется не более 7 очков.

Решение. При бросании двух игральных костей возможны следующие 36 исходов (первая цифра означает число очков на первой кости, вторая – на другой):

11	12	13	14	15	16
21	22	23	24	25
31	32	33	34
41	42	43
51	52
61

Эти исходы являются равновозможными, несовместными и образуют полную группу событий. Таким образом, .

Пусть – событие, заключающееся в том, что в сумме выпадает 10 очков. Какие элементарные события ему благоприятствуют? Те, которые в таблице выделены жирным шрифтом: 46, 55 и 64.

Тогда

.

Обозначим через событие, заключающееся в том, что сумма очков на двух костях не более 7 очков. Какие элементарные события благоприятствуют событию В? В таблице эти события набраны курсивом. Очевидно

.

1.1.3.2. Элементы комбинаторики

Иногда для расчета благоприятных и всех возможных исходов опыта приходится использовать комбинаторику. Комбинаторика – наука о комбинациях, подчиненных некоторым условиям, которые можно составить из каких-либо элементов. Элементы могут быть любой природы.

Приведем основные термины и формулы.

Перестановками из элементовназываются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов, отличающиеся порядком расположения элементов.

Как вычислить число всех возможных перестановок из n элементов?

На первом месте может оказаться любой из элементов – это комбинаций. На втором месте может оказаться любой из оставшихся элементов. Таким образом, общее число комбинаций, связанных с двумя первыми позициями перестановки, оказывается равным (для любого элемента, оказавшегося на первой позиции, существует элемент, находящихся на второй позиции). На третьем месте может оказаться любой из элементов, которые не попали на первые две позиции. Общее число комбинаций, связанных с тремя первыми позициями, равно . И так далее.

Таким образом, общее число перестановок

(1.1.3.2)

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3, если каждая цифра встречается только один раз?

Очевидно, количество таких чисел равно . Какие это числа?

.

Для дальнейшего заметим, что в математике из соображений удобства принято считать .

Размещения – комбинации из n элементов по m элементов, которые различаются как составом элементов, так и их порядком. Используя рассуждения, аналогичные предыдущим, получаем:

На первом месте может оказаться любой из n элементов, имеющихся в наличии (n комбинаций).

На втором месте может оказаться любой из n–1 оставшихся элементов; всего n×(n–1) комбинаций.

На m -м месте (очевидно, m<n) могут оказаться (n–m+1) элементов.

Таким образом, число размещений

=n×(n–1)…(n–m+1). (1.1.3.3)

Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 разноцветных флажков, взяв их по 2 (заметим, что порядок флажков важен, например, синий флажок, затем красный флажок – это один сигнал, а красный флажок, затем синий – это уже другой сигнал).

Искомое число равно

=6×5=30.

Сочетания – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, в которых важен только состав элементов, но не их порядок. Другими словами, сочетание из n элементов по m элементов – это набор комбинаций из m элементов, отличающихся хотя бы одним элементом. Обозначается эта комбинация .

Важно понимать разницу между и . Число размещений включает в себя всевозможные перестановки m элементов, входящих в комбинацию, при подсчете же такая перестановка не важна, важен только состав элементов, а не их порядок. Другими словами, если исключить в всевозможные перестановки m элементов, то и получим , т.е. .

Для обычно пользуются формулой

=n×(n–1)…(n–m+1)=

= .

Таким образом,

(1.1.3.4)

Тогда

(1.1.3.5)

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Число таких способов равно

Пример 2. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 наугад выбранных деталей 4 окажется стандартными.

Решение. Сколько существует способов выбрать 6 деталей из 10?

Сколько существует способов, благоприятствующих нашему событию? В 6 деталях должны оказаться 4 стандартные и 2 нестандартных. Сколько существует способов выбрать 4 стандартных детали (из 7)? Очевидно, . Аналогично выбрать 2 нестандартные детали (из оставшихся 3) можно способами. Общее же число способов равно

.

Таким образом, .

1.1.4. Геометрическая вероятность

В случае, когда число исходов опыта бесконечно, формулу для классической вероятности использовать невозможно. В ряде задач на сцену выходит так называемая геометрическая вероятность.

Рассмотрим такой пример. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L (см.рис.) и

на отрезке L наудачу выбрана некоторая точка А. Слово "наудачу" будем трактовать так: точка А может оказаться в любой точке отрезка L, а вероятность ее попадания на отрезок l не зависит от расположения этого отрезка относительно границ отрезка L и пропорциональна длине l, т.е.

. (1.1.4.1)

Пример 1. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую .

Разобьем отрезок ОА на три равные части (см.рис.). Из геометрических соображений совершенно очевидно, что если точка В попадет в средний отрезок длины , то меньший из отрезков ОВ или ОА как раз и будет превосходить . Таким образом, эта вероятность равна вероятности попадания точки В в этот средний отрезок, т.е.

.

Аналогичные рассуждения можно привести для двумерных областей W и G (см.рис.).

Если на область W наудачу брошена точка, то эта точка может оказаться в любой точке области W, вероятность ее попадания в область G не зависит от положения области G относительно границ области W и пропорциональна площади G. Тогда из геометрических соображений вероятность попадания случайно выброшенной точки в область G равна:

. (1.1.4.2)

Пример 2. На плоскости заданы два концентрических круга радиуса r и R (r<R). Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцевую область, образованную границами кругов.

Решение. Очевидно,

.

1.1.5. Частота события. Статистическое определение вероятности

В ряде задач теории вероятностей используется простейшая модель: события несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Эта модель основана на соображениях симметрии (равновозможность выпадения "герба" и "решки", равновозможность выпадания 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков на игральной кости и т.д.). В действительности такие "рафинированные" ситуации встречаются далеко не всегда. Поэтому наряду с классическим используют другое определение вероятности.

Относительной частотой события называется отношение числа опытов , в которых появилось событие , к общему числу произведенных опытов :

(1.1.5.1)

Эта частота, разумеется, меняется от серии к серии опытов. Но многократные наблюдения говорят о том, что относительная частота обладает свойством статистической устойчивости: в различных сериях она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной величине. Эту величину и называют статистической вероятностью.

1.1.6. Основные теоремы теории вероятностей

1.1.6.1. Операции над событиями

Суммой А+В двух событий называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Если событие А – попадание точки в левый круг, В – попадание точки в правый круг, то А+В – попадание в заштрихованную область. При этом точка может попасть в левый круг и не попасть в правый, может попасть в правый круг и не попасть в левый, а может попасть и в область пересечения этих кругов (разумеется, если они пересекаются). Такие диаграммы часто используют в теории вероятностей (в теории множеств) и называются они диаграммами Венна.

Если события А и В несовместные, то картинка такая:

В этом случае событие А+В – это попадание или в левый, или в правый круг.

Пример. Произведено два выстрела из орудия. Пусть А – попадание в цель при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле. Тогда А+В – это попадание в цель при первом выстреле, или при втором, или при обоих выстрелах.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении одного из следующих событий: А; В; С; А и В; А и С; В и С; А и В и С.

На приведенной диаграмме событиям А, В, С соответствует одинарная штриховка, событиям А и В, В и С, А и С – двойная штриховка, а событию А и В и С соответствует зачерненная область (тройная штриховка).

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1.1.6.1)

Доказательство. Пусть n – общее число исходов опыта; m₁ и m₂ – числа исходов, благоприятствующих событиям А и В. Тогда наступлению либо события А, либо события В благоприятствуют m₁+m₂ исходов, так что

.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n). (1.1.6.2)

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Вероятность появления красного шара (событие А):

.

Вероятность появления синего шара (событие В):

.

События А и В несовместны (появляется один шар; он не может быть и красным и синим одновременно), поэтому

.

Теорема 2. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих полную группу, равна 1.

Доказательство очевидно: появление хотя бы одного из событий полной группы есть событие достоверное, его вероятность равна единице.

Пример 2. Производится один выстрел по круговой мишени, состоящей из яблока и двух концентрических колец (см.рис.).

Вероятности попадания в яблоко и кольца равны соответственно 0,11; 0,24; 0,35. Чему равна вероятность промаха?

Обозначим: А – попадание в яблоко;

В – попадание в первое кольцо;

С – попадание во второе кольцо;

D – промах.

Тогда А, В, С, D – полная система несовместных событий.

Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D)=1,

Р(D)=1–Р(А)–Р(В)–Р(С)=1–0,11–0,24–0,35=0,3.

Противоположными называются два единственно возможных события, составляющих полную группу. Приняты обозначения: А и , – событие, противоположное А. Ясно, что

Р(А)+Р()=1, Р(А)=1–Р(), Р()=1–Р(А). (*)

Примеры.

1. Из урны с белыми и черными шарами вынимают наудачу шар.

А – появился черный шар;

– появился белый шар.

2. Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события.

3. Из ящика, в котором имеются стандартные и нестандартные детали, вынимают одну деталь.

А – появилась стандартная деталь;

– появилась нестандартная деталь.

4. В урне 8 белых и 2 черных шара. Найти вероятность того, что среди наудачу вынутых 6 шаров окажется не более одного черного.

Решение. Будем считать, что А – событие, заключающееся в том, что среди вынутых наудачу шаров имеется 2 черных. Тогда – интересующее нас событие, при котором черных шаров оказывается не более одного (либо один черный шар, либо ни одного). Подсчитаем вероятность события А.

Общее число способов выбрать 6 шаров из 10 равно

.

Число случаев m, благоприятствующих событию А, фактически равно числу способов выбрать 4 белых шара из 8, т.к. остальные 2 шара в 6 извлеченных должны быть черными. Поэтому

.

Тогда , а .

Приведенный пример характерен тем, что нам требуется найти вероятность , но гораздо проще вычисляется вероятность противоположного события . Формулы (*) позволяют выразить одну из этих вероятностей через другую. Это следует иметь в виду при решении некоторых задач.

Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Если А – попадание точки в левый круг, В – в правый, то АВ – попадание точки в область пересечения этих кругов. Например, А – деталь годная; В – деталь окрашенная; тогда АВ – деталь годная и окрашенная.

Произведение нескольких событий – событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, монета бросается 3 раза; А, В, С – события, заключающиеся в появлении "герба" при первом, втором и третьем бросаниях. Тогда АВС – выпадение "герба" во всех трех испытаниях.

1.1.6.2. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

В теории вероятностей имеется важное понятие: условная вероятность. Допустим, мы изучаем два события: А и В. Эти события в общем виде связаны, или зависимы, т.е., например, вероятность появления события В зависит от того, произошло (наступило) событие А или нет.

Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью этого события и обозначается

Р_А(В) или Р(В/А).

Читается: вероятность В при условии А.

Пример 1. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают шар и, не возвращая его обратно, вынимают второй шар. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После того, как в первом испытании появился черный шар, в урне осталось 5 шаров, среди них 2 черных. Вероятность при повторном испытании вынуть белый шар равна

.

Справедлива следующая теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что произошло первое:

Р(АВ)=Р(А)×Р_А(В). (1.1.6.3)

Доказательство. Пусть n – общее число исходов опыта, m – число исходов, благоприятствующих событию А. Пусть также l – число исходов, благоприятствующих событию АВ, т.е. совместному наступлению событий А и В.

Тогда

(см.рис.).

		m исходов, Р(А)= ,
	l исходов, Р(АВ)= .

Найдем Р_А(В). Очевидно, что в тех m случаях, когда происходит событие А, в l из них (l £ m) происходит событие В. Поэтому

.

Поскольку , то

Р(АВ)=Р(А)×Р_А(В).

Теорема доказана. Очевидно, в силу симметрии можно записать

Р(АВ)=Р(В)×Р_В(А). (1.1.6.4)

Следствие 1. Из доказанной теоремы следует, что

. (1.1.6.5)

Эти формулы можно считать определением условной вероятности.

Следствие 2. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)× (А₂)× (А₃)×…× (А_n), (1.1.6.6)

где (А_n) – вероятность события А_n, вычисленная в предположении, что события А₁, А₂, …, А_n–1 уже наступили.

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть произвольным, т.е. безразлично, какое из них считать первым, вторым и т.д.

В частности, для трех событий

Р(АВС)=Р(А)×Р_А(В)×Р_АВ(С). (1.1.6.7)

Пример. В урне имеется 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Последовательно извлекаются 3 шара, при этом предыдущий в урну не возвращается. Найти вероятность того, что первый шар окажется белым, второй – черным, а третий – синим.

Решение. Пусть А – появление белого шара в первом испытании, В – появление черного шара во втором и С – появление синего шара в последнем, третьем испытании.

Очевидно,

.

Тогда

Р(АВС)=Р(А)×Р_А(В)×Р_АВ(С)= .