Математическое описание объектов управление на основе смесительного бака

Рассмотрим смесительный бак, который напол­няется с помощью двух потоков, имеющих переменные мгновенные расходы и (рис. 2.5). Оба входных потока содержат раство­римое вещество неизм.конц. и . Выходной поток массовую скор истечения . Концентра­ция выходного потока равна концентрации .

Запишем уравнения баланса масс в баке. Для полной массы: (2.2.9).

Для массы растворённого вещества: (2.2.10).

Мгн расх вых пот зависит от уровня жидкости в баке : , (2.2.11). где - некоторая константа. Это следует из уравнения Бернулли, которое описывает энергетический баланс жидкости перед сливным отверстием и после него. При истечении из бака энергия жидкости превращается в кинет энергию потока, проп квадрату скорости . Приравн эти энерг, получаем . Расх пропорц произв скор истеч на площадь сливн отверстия, откуда и следует (2.2.11).

Для постоянной площади сечения . (2.2.12). Тогда из (2.2.9) и (2.2.10) получаем

Выберем в качестве базового режима установившееся состояние (статику), когда все велич явл пост - . При этом из предыдущих уравнений получаем

, . . При известных и эти уравнения могут быть разрешены относи­тельно и : .Предположим теперь, что возникли отклонения от установившегося состояния: , , и, как следствие, Если эти отклонения невелики, то можно провести линеаризацию нелинейных дифференциальных уравнений объекта. Снача­ла лин Ур-е для полной массы

Используем разложение нелинейной функции в ряд Тейлора и учтём, что .

Тогда Учитывая уравнение статики и пренебрегая остаточным членом, получим (2.2.13) Введём параметр , наз врем заполн бака. Тогда, учитывая (2.2.12), получим . (2.2.14). Кроме того, отметим, что . (2.2.15)

Таким образом, вместо (2.2.13) запишем (2.2.16)

Проведем аналогичные действия для уравнения баланса масс раст­во­рён­ного вещества.

После разложения в ряд Тейлора получим

Учтём уравнения статики и отбросим остаточный член:

Подставим в это уравнение из (2.2.16). Получим Таким образом, в результате линеаризации мы получили систему следующих дифференциальных уравнений, которые описывают процессы в смесительном баке:

(2.2.17)

34. Передаточная функция разомкнутой системы, Оценить устойчивость этой системы. (б2)

; ; ;

k-20>0 à k>20. a₀=1, a₁=8, a₂=k-20, a₃=2k;

, из a₁a₂ – a₀a₃ > 0.