Метод Эйлера

Одним из простейших разностных методов решения обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка:

(6.5)

на отрезке .

На данном отрезке выбираем некоторую совокупность точек с равностоящими узлами, т.е. .

Конечно-разностная аппроксимация прозводной

Так как , получаем формулу Эйлера

, , (6.6)

с помощью которой значение сеточной функции в любом узле вычисляется по ее значению в предыдущем узле . На каждом шаге погрешность имеет порядок . В конце интервала погрешность , т.е. метод Эйлера имеет первый порядок точности. На рис. 6.1 дана геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Рис. 6.1. Метод Эйлера.

Программа решения задачи Коши методом Эйлера дана на рис. 6.2.

Function f(x, y) f = x^2 + y End Function Sub ODE() a = 0 b = 0.3 y0 = 1 h = 0.1 x = a y = y0 Debug.Print x, y 1 y = y + h*f(x, y) x = x + h Debug.Print x, y If x < b Then GoTo 1 End Sub

Рис. 6.2. Программа решения задачи Коши методом Эйлера.

Пример 6.1. Решить задачу Коши методом Эйлера для дифференциального уравнения

на отрезке с шагом

Решение. По формуле (6.6) вычислим значение

Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках

Сеточную функцию записываем в виде таблицы