Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальными называются уравнения, в которых неизвестными являются функции, которые входят в уравнения вместе со своими производными.

Если в уравнение входит неизвестная функция только одной переменной, уравнение называется обыкновенным. Если нескольких – уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Решить дифференциальное уравнение, значит найти такую функцию , подстановка которой в уравнение обращала бы его в тождество.

Чтобы из уравнения -го порядка получить функцию, необходимо выполнить интегрирований, что дает произвольных постоянных. Решение, выражающее функцию в явном виде, называется общим решением.

Частным решением дифференциального уравнения называется общее решение, для которого указаны конкретные значения произвольных постоянных. Для определения произвольных постоянных необходимо задать столько условий, сколько постоянных, т.е. каков порядок уравнения. Эти условия обычно включают задание значений функции и ее производных в определенной точке, их называют начальными условиями,

или значений функции в нескольких точках, т.е. краевых условий.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях называется задачей Коши.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения при заданных краевых условиях называется краевой задачей.

Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Метод включает следующие этапы

1) Замена области непрерывного изменения аргумента дискретным множеством точек, называемых узлами сетки;

2) Аппроксимация производных в узлах конечно-разностными аналогами;

3) Аппроксимация дифференциального уравнения системой линейных или нелинейных разностных уравнений;

4) Решение полученной системы разностных уравнений.

Разностные методы позволяют находить только частное решение. Результат численного решения дифференциального уравнения представляется в виде таблицы . Аналитический вид решения может быть получен аппроксимацией.