Производственной функции

Пусть – ПФ. Дробь

называется средней производительностью i -го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i -му ресурсу (фактору производства). Символика: .

Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД для средних производительностей и основного капитала и труда были использованы соответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых и .

Пусть – ПФ. Ее первая частная производная

называется предельной (маржинальной) производительностью i -го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по i -му ресурсу (фактору производства). Символика: .

Обозначим символами и ;

соответственно, приращение переменной и соответствующее ей частное приращение ПФ f(x). При малых имеем приближенное равенство

.

Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат i -го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину (т.е. ППФ) целесообразно интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин, т.е. и . Отмеченное обстоятельство является ключевым для понимания экономического смысла ППФ . С другими предельными величинами следует поступать аналогичным образом.

Пример 24. 1). Для ПФКД найти в явном виде , , и .

Решение задачи. Имеем:

; ;

; ;

; .

Для ПФ (не только для ПФКД) неравенства

,

(т.е. предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса) обычно выполняются.

2). Для ЛПФ найти в явном виде А₁, А₂, М₁ и М₂.

Решение задачи. Имеем:

; ,

, ,

; .

Пусть – ПФ, . Отношение предельной производительности i -го ресурса к его средней производительности называется (частной) эластичностью выпуска по i -му ресурсу (по фактору производства) (ЭФМ). Символика:

.

Сумма называется эластичностью производства.

Поскольку при малом приращении имеем приближенное равенство

(крайнее правое выражение есть отношение двух относительных величин и ), поскольку (приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i -го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Пояснение выражения , содержащего предельную величину , с помощью выражения, содержащего конечное приближение этой предельной величины, является ключевым в понимании экономической сути частной эластичности выпуска по i -му ресурсу.

Пример 25. 1). Выписать в явном виде для ПФКД выражения для Е₁, Е₂ и Е_х.

Решение задачи. Имеем:

, ,

.

2). Для ЛПФ выписать в явном виде выражения для Е₁, Е₂ и Е_х.

Решение задачи. Имеем:

; ;

.

Пусть – ПФ, . Предельной нормой замены (замещения) i -го ресурса (фактора производства) j -м (аббревиатура: ПНЗФ и символика: R_ij) называется выражение

(10)

при постоянной у.

Обратим внимание на то, что i – номер заменяемого ресурса, j – номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены (замещения) i -ого ресурса (фактора производства) j -м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий (но не менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов.

Пусть выпуск у является постоянным (т.е. все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда первый полный дифференциал dy ПФ тождественно равен нулю:

(здесь dx₁, dx₂ – дифференциалы переменных x₁, x₂), откуда, выражая первый дифференциал dx_j, получим ():

, (11)

откуда, поделив на dx_i, получим

. (12)

На основании (10), (11) и (12) имеем:

(13)

Отметим, что строгий вывод формулы (13) опирается в действительности на теорему о неявной функции, формулировка которой в настоящем пособии не приводится.

Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ справедливо равенство

.