За умови

Приклад 9

.

Щоб застосувати (2.7) записуємо функцію у зручному вигляді

,

за умови тобто .

Деякі застосування степеневих рядів

Розклади функцій в ряд Маклорена дозволяють обчислювати значення функцій в точках з довільною точністю, знаходити деякі границі, інтеграли, розв’язки диференціальних рівнянь і т.п. Наведемо декілька прикладів.

Приклад 11

Знайти

підставимо подання та в ряди Маклорена

.

Приклад 12

Обчислити з точністю до 0,001

.

Застосувати формулу Ньютона-Лейбніца тут неможливо, бо не береться в елементарних функціях. Тому цей інтеграл можна обчислити за допомогою рядів. А саме, залучаємо відомий розклад в ряд Маклорена

.

Тоді

.

Отже,

,

.

Прийшли до числового знакопереміжного ряду. Як відомо, залишок цього ряду за абсолютною величиною менший першого члену, який відкинуто. Отже, щоб забезпечити точність обчислень 0,001 треба знайти член ряду, який вдовольняє вище сформульовану умову.

оскільки , то для забезпечення точності обчислення 0,001 достатньо взяти суму перших трьох членів ряду

.

Приклад 13

обчислити з точністю 0,001.

Оскільки не береться в елементарних функціях, то обчислити інтеграл за формулою Ньютона - Лейбніца неможливо. Значення інтегралу можна знайти тільки наближено за допомогою рядів. Для цього залучаємо розклад в ряд Маклорена

.

В даному випадку , тому

.

Тоді

.

Це числовий знакопереміжний ряд. Його залишок за абсолютною величиною менший першого із відкинутих членів ряду.

Таким чином, щоб забезпечити точність обчислень 0,001 треба знайти відповідний член ряду

.