Статически неопределимые балки

Балка называется статически неопределимой, если все возникающие в опорах реакции не могут быть определены с помощью только лишь уравнений статики.

Степень статической неопределимости равна разности между числом неизвестных реакций и числом возможных для данной задачи уравнений статики.

Одним из методов раскрытия статической неопределимости балок является аналитический метод.

Последовательность расчета.

1. Составить уравнения равновесия.

2. Используя метод уравнивания постоянных интегрирования, составить дифференциальное уравнение упругой линии и проинтегрировать его.

3. Составить условия закрепления.

4. Вычислить опорные реакции и постоянные интегрирования из совместного решения уравнений равновесия и уравнений, полученных из условий закрепления.

Пример расчета.

В качестве примера рассмотрим расчет балки, изображенной на рис. 8.3. Нагрузка задана: ; ; .

На опорах балки в общем случае возникают четыре реакции , , и

и, т.к. для плоской системы можно составить три уравнения равновесия, заданная балка будет статически неопределимой один раз. Уравнения равновесия:

; .

; .

; .

Рис. 8.3

Подставив значения заданных нагрузок, получим

. *).

Выполняя с целью уравнивания постоянных интегрирования указанные выше условия, выберем для всех трех участков балки общее начало координат (опора А). Далее продолжим распределенную нагрузку до конца балки, уравновешивая ее такой же нагрузкой обратного направления, а член, содержащий сосредоточенный момент, умножим на . Дифференциальное уравнение будет иметь вид

.

При этом значения координаты ² х ² для различных участков интегрирования лежат в следующих пределах: для 1-го участка , для 2-го участка и для 3-го . Интегрируя это уравнение дважды, получим:

.

.

Запишем условия, вытекающие из схемы закрепления балки:

1) ; 2) ; 3) . Подставляя в уравнение прогибов перечисленные выше условия для соответствующих участков, получим

.

;

,

откуда, подставляя значения нагрузок, получим соответственно

**).

Решая совместно уравнения *) и **), найдем

,

,

,

.

Знак плюс в ответах для реакций показывает, что их направление было выбрано верно. Таким образом, статическая неопределимость балки раскрыта. Эпюры для поперечной силы и изгибающего момента приведены на том же рисунке.

Подберем двутавровый профиль балки. На основании условия прочности (6.15)

и по сортаменту подбираем двутавр № 18, для которого .

Для вычисления экстремальных прогибов на участках балки приравняем нулю первую производную от прогиба, т.е. выражение угла поворота. На 1-м участке будем иметь

, откуда .

Так как для 1-го участка , то данному участку отвечает решение . Подставляя в уравнение для прогибов на этом участке значения ; , , получим наибольшее значение прогиба

.

Приравнивая нулю выражения углов поворота на 2-ом и 3-ем участках получаем кубические уравнения. Отыскание корней таких уравнений в пределах данного участка может быть выполнено, например, графически. Для 2-го участка уравнение углов поворота имеет вид

.

На рис. 8.4 построена кривая, отвечающая этому уравнению (найдены значения через каждые 0,4 м). Из рисунка видно, что первая производная от прогиба в пределах дважды обращается в ноль, т.е. на 2-ом участке имеется два экстремальных прогиба. Подставляя найденные значения и в уравнение для прогибов, находим

Рис. 8.4

.

.

Для 3-го участка уравнение углов поворота имеет вид

.

Решение уравнения показывает, что на этом участке производная не обращается в ноль и экстремальных прогибов нет.

Допускаемый прогиб в левом пролете балки равен , а в правом . Таким образом, на всех участках балки наибольшие прогибы не превышают допускаемых величин и сечение балки, найденное по условию прочности, отвечает и условию жесткости.

В тех случаях, когда прогиб на каком-либо участке балки превышает допускаемое значение, необходим подбор нового сечения. В этом случае момент инерции сечения, найденного по условию прочности, увеличивают во столько раз, во сколько наибольший прогиб на участке превышает допускаемое его значение, и по сортаменту по этой величине подбирают новое значение двутавра. На рис. 8.3(г) показан вид изогнутой оси балки.