Аналитический метод определения перемещений

Перемещения при изгибе.

Аналитический метод.

Основные понятия.

Продольную ось балки при деформации изгиба, называют у п р у г о й

л и н и е й. Основные свойства упругой линии - п л а в н о с т ь и

н е р а з р ы в н о с т ь. Интенсивность деформации изгиба элементу балки длиной (рис. 8.1) определяется степенью искривления его продольной оси, т.е. значением кривизны , которая связана с изгибающим моментом в сечении и жесткостью балки следующей зависимостью

. (8.1)

Деформация балки характеризуется двумя величинами, называемыми перемещениями: 1) прогибом, т.е. вертикальным смещением центра тяжести данного сечения (); 2) углом поворота, т.е. углом, на который поворачивается данное сечение по отношению к своему первоначальному положению . Перемещением центра тяжести поперечного сечения вдоль оси балки пренебрегают как величиной высшего порядка малости по сравнению с прогибом. Перемещения в данном сечении балки связаны зависимостью

.

В пределах упругих деформаций углы поворота поперечных сечений , поэтому принимают , тогда

. (8.2)

Аналитический метод определения перемещений.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии может быть получено на основании зависимости (8.1) и имеет вид

, (8.3)

где - жесткость балки при изгибе;

- изгибающий момент в сечении балки.

Рис. 8.1

Двухкратным интегрированием этого уравнения получают уравнения искомых перемещений (угла поворота и прогиба):

, (8.4)

, (8.5)

где (8.4) - уравнение углов поворота; (8.5) - уравнение прогибов. Постоянные интегрирования C и D определяют из граничных условий - условий закрепления балки: в сечении с жесткой заделкой угол поворота и прогиб равны нулю; в сечении с шарнирной опорой прогиб равен нулю. Физический смысл постоянных интегрирования: первая постоянная интегрирования C, деленная на жесткость балки , равна значению угла поворота в начале координат; вторая постоянная интегрирования D, деленная на жесткость , равна прогибу балки в начале координат. Если балка имеет несколько расчетных участков, то число постоянных интегрирования будет равно удвоенному значению числа расчетных участков. Для упрощения расчетов применяют м е т о д уравнивания п о с т о я н н ы х и н т е г р и р о в а н и я. Используя метод уравнивания постоянных интегрирования, добиваются равенства постоянных C и D на всех расчетных участках. При использовании этого метода приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки записывают, соблюдая следующие условия:

1). Начало координат выбирают на одном из концов балки и отсчет координаты x для всех расчетных участков ведут от этого начала координат.

2). Выражения изгибающего момента, составленные для первого участка сохраняют неизменными для всех последующих расчетных участков балки.

3). Вновь вводимые выражения изгибающего момента для последующих участков балки записывают с сомножителем , где - сумма длин предыдущих расчетных участков балки.

4). Если на границе участков приложен сосредоточенный момент, то в уравнение изгибающего момента его записывают с сомножителем .

5). Если равномерно распределенная нагрузка на границе некоторого участка заканчивает свое действие, то в выражение изгибающего момента для последующего участка записывают слагаемое, учитывающее ее вычитание.

6). Интегрируют уравнения по переменной на первом участке и , без раскрытия скобок, на всех последующих расчетных участках балки.

Правило знаков для перемещений: при выборе начала координат на левом конце балки прогиб считают положительным, если он произошел в положительном направлении оси ; угол поворота, противоположный движению часовой стрелки, считают положительным. Если начало координат выбрано на правом конце балки, то правило знаков для углов поворота меняется на противоположное, для прогибов - сохраняется.

Определение перемещений в балке проводят с целью проверки ее жесткости.

Условие жесткости имеет вид

,

где -максимальный прогиб, -допускаемый прогиб,

Пример.

Определим аналитическим методом перемещения в балке, показанной на рис. 5.7. (глава 5).

Дифференциальное уравнение упругой линии для балки с выбором начала координат на опоре А имеет вид:

.

.

.

Граничные условия:

1). , , .

2). , : ;

;

.

Угол поворота на опоре А равен:

;

Жесткость балки равна .

.

Угол поворота в сечении при равен:

.

Угол поворота в сечении при равен:

.

Угол поворота на опоре В равен:

.

Определим прогибы в сечениях балки:

а) .

.

б) .

Для определения сечения с максимальным прогибом построим график зависимости угла поворота от координаты (рис. 8.2), на основании которого определяется положение сечения с максимальным прогибом ().

.

Допускаемое значение прогиба для пролета балки равно

.

Рис. 8.2

Условие жесткости не выполняется: .

Подберем новое сечение балки:

.

Следовательно, момент инерции надо увеличить в это число раз.

.

По сортаменту определяем номер двутавра. Двутавр № 30 (табл. 6.2).