Внутренняя энергия идеального газа. Степени свободы системы

Для того чтобы подсчитать внутреннюю энергию идеального газа, необходимо выяснить ее зависимость от структуры молекулы газа и распределения ее между частицами газа. Для этого воспользуемся статистическим методом, определяющим распределение энергии по степеням свободы.

Числом степеней свободы i материального объекта называется чи­сло независимых координат, однозначно определяющих положение этого объекта относительно рассматриваемой системы отсчета.

Положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами: x, y и z (рис. 8.1). Следовательно, материальная точка обладает тремя степенями свободы. Изменению координат x, y, z соответствует поступательное движение материальной точки.

Молекулы одноатомного газа можно рассматривать как материальные точки, так как масса каждой молекулы сосредоточена в ядре, размеры которого очень малы. Поэтому молекула одноатомного газа имеет три степени свободы поступательного движения (i = 3). Молекулы, состоящие из двух,

Рис.8.3

трех и боль­шего числа атомов, не могут быть уподоблены материальным точкам. Моле­ку­лы двухатомного газа в первом приближении представляют собой два жестко свя­занных атома, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга (рис. 8.2).

Такая молекула, напоминающая гантель, помимо трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения вокруг осей О ₁ О ₁ и О ₂ О ₂. Вращение вокруг третьей оси ОО рассматривать не нужно, так как момент инерции молекулы относительно этой оси ничтожно мал. Таким образом, молекула двухатомного газа обладает пятью степенями свободы (i = 5).

Молекулы, состоящие из трех и более атомов (рис. 8.3), имеют, подобно абсолютно твердому телу, 3 степени сво­бо­ды поступательного движения и 3 степени свободы вращательного дви­жения (i = 6).

Одним из важнейших законов статистической физики является закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: энергия моле­ку­лы равномерно распределяется по сте­пе­ням свободы, то есть на каждую сте­пень свободы, независимо от кон­струк­ции молекулы, приходится одинаковая энергия, равная kT /2.

Докажем этот закон приближенно для идеального газа. На основании уравнения Клаузиуса

и уравнения Менделеева – Клапейрона

находим среднюю кинетическую энергию одной молекулы идеального газа:

,

где - концентрация молекул; - постоянная Больцмана,

или . (8.1)

Уравнение Клаузиуса было получено в предположении, что молекулы газа – материальные точки (одноатомные молекулы). Следовательно, они имеют 3 степени свободы поступательного движения. Так как молекулы движутся хаотически и все направления движения равновероятны, полная энергия молекулы (8.1) поровну распределяется между тремя степенями свободы и на каждую степень свободы приходится kT /2энергии

. (8.2)

Этот закон хорошо согласуется с экспериментом при температурах, близких к комнатным.

Пользуясь законом равномерного распределения энергии по степеням свободы, можно подсчитать энергию одной молекулы для любой массы идеального газа. Так, для одной молекулы средняя кинетическая энергия хаотического теплового движения

. (8.3)

Молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом. Поэтому его внутренняя энергия складывается из кинетических энергий всех молекул, т.е. кинетическая энергия одного моля идеального газа равна произведению энергии одной молекулы на число молекул в моле N_A:

. (8.4)