Локалізовані коливання

Реальні кристали містять велику кількість різноманітних дефектів, що призводить до порушення трансляційної симетрії кристалу. В такому випадку коливання кристалу вже не описується хвильовим вектором, тобто не розповсюджуються у вигляді хвиль. За певних умов такі коливання можуть бути локалізовані поблизу домішки.

Розглянемо для простоти решітку Браве з одним атомом в примітивній комірці (i =0). При наявності дефектів рівняння руху кристалічної решітки (21.10) може бути записано у вигляді

, (28.1)

де покладено, що . Для кристалів з невеликою кількістю домішок за умови локалізації коливань кристалічної решітки можна обмежитись наближенням однієї домішки. Для ізотопічної домішки, що знаходиться у вузлі n =0

. (28.2)

Тут – різниця між масою домішки та масою атома чистого кристалу. Для важкої домішки e <0, а для легкої — e >0.

Перейдемо тепер до нормальних координат (див. (25.1))

(28.3)

і приведемо систему рівнянь (28.1) до вигляду

(28.4)

Використовуючи рівняння руху ідеальної решітки (22.7), матимемо

(28.5)

Помножаючи ліву і праву частину рівняння (28.5) на , підсумовуючи по a і використовуючи умову ортонормованості (23.1), одержимо

. (28.6)

Підставляючи (28.6) у вираз (28.3), остаточно одержимо

, (28.7)

де

.(28.8)

Величина є функцією Гріна для оператора, що стоїть у лівій частині рівняння руху кристалічної решітки (28.1), яке записано у матричній формі.

Функція Гріна задовольняє рівнянню

. (28.9)

В якості прикладу застосування одержаних результатів розглянемо випадок одного ізотопічного дефекту. Підставляючи (28.2) у (28.7), матимемо

. (28.10)

Із рівняння (28.10) одержимо умову самоузгодженості, покладаючи у (28.10) n =0. В результаті маємо

. (28.11)

Із виразу (28.8) випливає

. (28.12)

Для кристалів кубічної симетрії, враховуючи (23.9), із (28.12) одержимо

, (28.13)

де

. (28.14)

Підсумовуючи ліву і праву частину рівності (28.14) по a, використовуючи умову ортонормованості (23.1) і враховуючи, що для кристалів кубічної симетрії , матимемо

. (28.15)

Підставляючи (28.13), (28.15) у (28.11), одержимо

. (28.16)

Умовою розв’язку цієї системи рівнянь є

. (28.17)

Таким чином, система трьох рівнянь коливання домішки у вузлі кристалічної решітки n =0 (28.16) має один розв’язок, що визначається рівнянням (28.17). Це означає, що частоти трьох взаємоперпендикулярних коливань атомів є однаковими.

Графічний розв’язок рівняння (28.17) для випадків важкої (e <0) і легкої (e >0) домішки зображено на рис.28.1. Функція F(ω) на рис.28.1 дорівнює правій частині рівняння (28.17).

Рис.28.1 Закон дисперсії коливань атомів складної одновимірної решітки

Розв’язки рівняння (28.17) визначаються точками перетину графіків функцій, що стоять у лівій і правій частинах рівняння (28.17). Одержані таким чином частоти коливань атомів домішкового кристалу зображено на осі абсцис крапками. Частоти коливань чистого кристалу утворюють майже неперервний спектр частот в інтервалі [0, ω_m ]. Частоти коливань домішкового кристалу, що потрапляють у цей неперервний спектр зсунуті на величину ~ 1/ N від відповідних частот коливань чистого кристалу. Оскільки число атомів кристалу N є великим, то коливання атомів домішкового кристалу відбуваються практично на частотах зазначеного вище неперервного спектру. Однак для випадку легкої домішки (e >0), як видно з рис.28.1, існує один розв’язок для частоти, яка може значно перевищувати максимальну частоту неперервного фононного спектру ω_m. Ця частота ω_loc носить назву локальної частоти, оскільки відповідне їй коливання атомів не може поширюватись у кристалі і локалізоване на домішковому атомі. Використовуючи (28.8), (28.17) із (28.10) можна показати, що амплітуда локалізованого коливання атомів швидко спадає з відстанню від домішкового атома за експоненціальним законом.