Локалізовані стани електрона в кристалі з домішками

До числа дефектів кристалічної решітки, що порушують умову періодичності кристалічного потенціалу, можна віднести: 1) сторонні (домішкові) атоми, які можуть або заміщувати основні атоми, або знаходитись в міжузловині; 2)основні атоми решітки, що перейшли в міжузловину; 3) пусті (вакансійні) вузли решітки; 4) дислокації; 5)поверхня кристалу тощо. Кожен з таких дефектів створює додаткове поле, що діє на електрон у кристалі, і може розглядатись методами, які описані вище у параграфах 15,16.

Розглянемо кристал, що складається з атомів сорту А, з домішками атомів сорту В. Нехай - атомні потенціали компонентів А, В відповідно. Як буде показано далі, взаємодію електрона з іншими валентними електронами можна звести до екранування атомних потенціалів компонентів. Нехтуючи просторовою дисперсією статичної діелектричної проникності для екранованих атомних потенціалів запишемо

, . (17.1)

Додаткове поле в (16.10) дорівнює

. (17.2)

У виразі для (17.2) ми скористались наближенням однієї домішки. Як буде показано далі, це можна зробити, якщо концентрація домішок є невеликою, а стани локалізовані. У цьому випадку середня відстань між домішками є набагато більшою від розмірів області локалізації хвильової функції електрона. У зв’язку з цим стани електрона поблизу домішки можна вважати незалежними від наявності інших домішок у кристалі.

Розглянемо водневоподібні домішки, атомні потенціали яких мають вигляд

, (17.3)

де валентність іона сорту . Підставляючи (17.3) у (17.2), одержимо

, . (17.4)

Підставляючи (17.4) у (16.11), маємо

. (17.5)

Ми одержали рівняння Шредінгера для хвильової функції електрона з масою і зарядом у полі ядра водневоподібного атома, яке має заряд .

Енергія електрона дорівнює

(ев), (17.6)

де n – головне квантове число.

Для хвильової функції основного стану (n = 1) електрона в полі домішкового атома, що знаходиться в вузлі l решітки, маємо

, (17.7)

де радіус Бора

Å. (17.8)

У виразі (17.7) ми поклали . З виразу (17.7) видно, що хвильова функція електрона експоненціально затухає при віддаленні від l -го вузла, в якому знаходиться домішковий атом. За певних значень , характерна довжина затухання (17.8) хвильової функції може бути значно меншою від середньої відстані між домішковими атомами і мати порядок періоду кристалічної решітки. Такі стани електрона є локалізованими.

Розглянемо, наприклад, кристал кремнію чи германію з домішками атомів миш’яку, що розташовані у вузлах кристалічної решітки. Атом миш’яку має п’ять валентних електронів. Чотири валентних електрони миш’яку, подібно до чотирьох електронів кремнію чи германію будуть приймати участь в чотирьох направлених валентних зв’язках решітки. П’ятий валентний електрон, що слабкіше пов’язаний з вузлами кристалу буде рухатись у полі решітки однозарядного іона миш’яку. П’ятий електрон знаходиться в атомі з енергією, що близька до енергії дна зони провідності чистого кристала кремнію. У зв’язку з тим, що ефективна маса електрона у стані з енергією, яка близька до дна зони, є додатною, то енергія стану, в якому знаходиться п’ятий електрон є, згідно (17.6), від’ємною. Оскільки в (17.6) енергія відраховується від енергії точки екстремуму залежності , тобто в даному випадку від дна зони провідності чистого кремнію, то енергія стану в якому знаходиться п’ятий електрон, лежить у забороненій зоні дещо нижче дна зони провідності кремнію (рис.17.1,а). В результаті збудження (теплового, світлового і т.д.) електрон може із зв’язаного стану, поблизу домішкового атома перейти у стан вільного електрона, в якому він перетворюється у носія електричного струму. Такі домішкові центри, які в результаті збудження можуть постачати вільні заряди в зону провідності, називаються донорами.

Рис.17.1. Енергетичні рівні електрона в кристалі кремнію з домішками: а) миш’яку, б) алюмінію.

Розглянемо тепер кристал кремнію чи германію з домішками атомів елемента третьої групи періодичної системи (бор, алюміній, індій, галій), що розташовані у вузлах кристалічної решітки. В атомів третьої групи є три валентних електрони в s- і p-станах, і для того, щоб вони утворили чотиривалентний зв’язок у решітці кремнію чи германію, їм потрібно взяти один з валентних електронів основних атомів кристалу. Таким чином, в результаті збудження (теплового, світлового і. т. п.) електрон валентної зони кристала може приєднатись до нейтрального домішкового атома, утворюючи від’ємний іон. Домішкові центри, які при збуджені можуть захопити електрон валентної зони, утворюючи в ній додатньо заряджені дірки, називаються акцепторами.

Енергія незаповненого стану поблизу домішки, у який переходить валентний електрон при збудженні, є близькою до енергії верхнього краю валентної зони чистого кристала кремнію. У зв’язку з тим, що ефективна маса електрона станах з енергією, яка близька до верхнього краю зони, є від’ємною, то енергія цього незаповненого стану є додатньою. Оскільки в (17.6) енергія відраховується від енергії точки екстремуму залежності , тобто верхнього краю валентної зони чистого кремнію, то енергія зазначеного вище незаповненого стану лежить у забороненій зоні дещо вище верхнього краю валентної зони кремнію (рис.17.1, б).

Таким чином, в результаті збудження донори перетворюються у додатні іони, створюючи в зоні провідності вільні електрони, а акцептори від’ємні іони, створюючи у валентній зоні позитивно заряджені дірки.

З формули (17.6) можна оцінити, що для кремнію і германію енергія основного стану (n = 1) для донорів і акцепторів має порядок 0,01 ев. Такі малі значення енергії пов’язані з великими значеннями статичної діелектиричної проникності для кремнію ( 12) і германію ( 16). Такі рівні, що одержали назву мілких, дійсно спостерігаються в дослідах для кремнію і германію, коли домішкові атоми є електронами третьої і п’ятої груп періодичної системи.