Некоторые свойства матриц

A- квадратная матрица размерности n n l _i - собственные числа, h _i - собственные вектора

det(A - l I)=0

A h_i = l_ih_i , i= 1,…,n

1. Алгебраическая кратность собственного числа l _i - его кратность как корня характеристического уравнения.

2. Геометрическая кратность l _i - количество линейно независимых собственных векторов, соответствующих матрице А.

3. Матрица имеет простую структуру, если ее собственные вектора образуют базис.

4. Матрица имеет простую структуру, если алгебраическая и геометрическая кратности l _i совпадают.

5. Матрица простой структуры подобна диагональной, составленной из ее собственных значений.

6. Функция от матрицы вычисляется как сумма матричного ряда.

,

где g _i берутся из соответствующего представления скалярной функции.

Пример:

7. Функцию от матрицы можно вычислить через собственные числа и собственные векторы данной матрицы

где ,

h ⁺ _i - левый собственный вектор (двойственный собственный вектор).