Глобальный и условный экстремумы

Как правило, в практических задачах необходимо определить наибольшее и наименьшее значения функции (глобальный экстремум) в некоторой области.

Говорят, что функция имеет в точке заданной области глобальный максимум (наибольшее значение ) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство или, соответственно, выполняется для любой точки .

Теорема (Вейерштрасса): если область замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.

Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в ограниченной замкнутой области , где она непрерывна, можно руководствоваться следующим:

1. Найти стационарные точки, лежащие внутри области , и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).

2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области .

3. Сравнить полученные значения функции: самое большое (меньшее) из них будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области .

Замечание. Если граница области определения функции состоит из нескольких частей, например, треугольник или прямоугольник, то находят наибольшее и наименьшее значения функции на каждой части, а затем сравнивают.

Граница области аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных . Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границе, необходимо решить задачу определения условного экстремума.

Условный экстремум. Пусть необходимо найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяют, уравнениям

, (46.1)

Предполагается, что функции и имеют непрерывные частные производные по всем переменным. Уравнения (46.1) называют уравнениями связи. Говорят, что в точке удовлетворяющей уравнениям связи, функция имеет условный максимум (минимум), если неравенство ( ) имеет место для всех точек , координаты которых удовлетворяют уравнениям связи.

Легко заметить, что задача определения условного экстремума совпадает с задачей нелинейного программирования.

Условными экстремумами именуются условные максимум и минимум.

В случае функции двух переменных задача о нахождении точек условного экстремума решается двумя способами.

Если представляется возможным, то из уравнения связи в результате функция преобразуется в функцию одной переменной , что даёт возможность решения задачи известными методами.