Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условия

Понятие экстремума вводится для случая, когда число переменных . Будем полагать, что функция дважды дифференцируема в точке , () и в некоторой ее окрестности.

Определение: если для всех точек этой окрестности или , то говорят, что функция имеет экстремум в (соответственно максимум или минимум).

Определение: точка , в которой все частные производные функции равны нулю, называется стационарной точкой.

Необходимое условие экстремума: если в точке функция имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю: .

Следовательно, точки экстремума функции удовлетворяют системе уравнений:

(45.1)

Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Дифференциала второго порядка обозначается . Если найти частную производную по переменной х_j, то получим частную производную второго порядка по переменным х_i , х_j, которая обозначается .

В этом случае: . (45.2)

Достаточные условия экстремума (двух переменных):