Геометрическая интерпретация двойного интеграла

Пусть на области задана непрерывная функция , которая на этой области принимает неотрицательные значения.Криволинейным цилиндром называется тело в пространстве, ограниченное сверху поверхностью , снизу — областью , а с боков — цилиндрической поверхностью, образованной прямыми линиями, параллельными оси и проходящими через точки области (рис. 15.15). Что называть объемом этого тела?

$$15.5

Криволинейный цилиндр с основанием (рис 15.5) заменим прямым цилиндром с основанием и высотой . Объем этого прямого цилиндра равен . Следовательно, интегральная сумма представляет собой сумму объемов прямых цилиндров, которая является приближенным значением объема тела . Если существует предел , то его естественно считать объемом тела .

Итак, объем криволинейного цилиндра с основанием равен значению двойного интеграла от неотрицательной и непрерывной функции на области , т.е. .

Замечание. Если существует двойной интеграл , то он равен объему прямого цилиндра с основанием и высотой 1, т.е. равен площади области : . ▲