Общая характеристика низкоскоростных кодов

Низкоскоростными являются коды, у которых скорость передачи R=k/n мала (это выполнимо при k «r) и кодовое расстояние d=n/2. Благодаря этому коды корректируют примерно четверть ошибок на длине n и занимают особое положение в теории и практике помехоустойчивого кодирования. Для них разработаны эффективные алгоритмы формирования и декодирования. С точки зрения теории кодирования они являются классическими кодами, с другой стороны, свойства кодов позволяют использовать их в качестве основы для формирования так называемых сложных сигналов для систем связи, синхронизации, локации, навигации, систем передачи и криптографической защиты информации. При этом используются чисто кодовые методы, основанные на теории векторных пространств и конечных полей, а также алгоритмы и методы теории цифровой обработки сигналов. Практический интерес представляет исследование различных семейств низкочастотных кодов, способов их формирования и декодирования, параметров и корреляционных свойств, размеров ансамблей (мощности кодов), сложности структуры и вычислительной сложности обработки. На практике находят применение как отдельные кодовые слова низкокоростных кодов, так и их ансамбли. Отдельные кодовые слова рассматриваются как кодовые последовательности (КП) символов { a_i } = (а₀,а₁....a_n-1).

Большое значение имеют периодические и апериодические корреляционные свойства кодовых последовательностей. Периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ) двоичной последовательности {a_i} определяется следующим образом:

Здесь τ = 0,1…,n-1, а сумма i+τ берется по модулю n.

Ансамбли КП используются для формирования систем сигналов, обладающих оптимальными корреляционными свойствами при кодовом разделении сигналов различных абонентов, использующих для передачи информации общий канал. Определяющим в синтезе ансамбля является критерий минимума боковых выбросов автокорреляционных функций и минимума значений взаимокорреляционных функций, определяемых для пары последовательностей { а_i } и { b_i }следующим выражением:

Особый интерес представляют двоичные КП, обладающие идеальными корреляционными свойствами. Для них ПАКФ принимает только два значения:

Для КП необходимыми условиями является их уравновешенность и нечетность длины. При этом длина последовательности может быть равна:

1.nр, р =3(mod4) - простое.

2.n = р(р + 2).

3.n = 2^l -1, l - любое целое положительное число.

К первой группе принадлежат последовательности Лежандра и Холла, вторая содержит только последовательности Якоби, а третья, самая обширная, включает М-последовательности и последовательности Гордона-Милса-Велча (ГМВ). Отметим, что М-последовательности являются базой для формирования циклических ансамблей последовательностей Голда и Касами.

Двоичные последовательности четной длины, такие, как Д-коды, бент- последовательности, коды Рида-Маллера, последовательности быстрого поиска и т.д., имеют значительные уровни боковых выбросов корреляционных функций, но обладают другими важными для конкретных применений свойствами.